高中數(shù)學(xué)-(32-簡單的三角恒等變換)教案-新人教a版必修4-wenkub.com
2025-04-03 04:05 本頁面
【正文】 ②，得=，即cosαcos2βsinαsin2β=0，∴cos(α+2β)=0.∵0α，0β，∴0α+2β.∴α+2β=.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)4.解答:4.(1)y=,遞增區(qū)間為[](k∈Z),最大值為。若不能,請說明理由.解:在Rt△BAD中,=cos,在Rt△BAC中,=sinC,∴mcos=asinC.圖2同理,ncos=asinB.∴mncoscos=a2sinBsinC.而a2=2mn,∴coscos=2sinBsinC=8sin(2)若x∈[0,],求f(x)的最大、最小值.解：f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x=(cos2x+sin2x)(cos2xsin2x)sin2x=cos2xsin2x=cos(2x+),所以，f(x)的最小正周期T==π.(2)因?yàn)閤∈[0,]，所以2x+∈[，].當(dāng)2x+=時(shí)，cos(2x+)取得最大值,當(dāng)2x+=π時(shí)，cos(2x+)取得最小值1.所以，在[0,]上的最大值為1，最小值為.思路2例1 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)M(,0)對稱,且在區(qū)間[0,]上是單調(diào)函數(shù),求φ和ω的值. 活動：提醒學(xué)生在解此題時(shí),對f(x)是偶函數(shù)這一條件的運(yùn)用不在問題上,而在對“f(x)的圖象關(guān)于M(,0)對稱”這一條件的使用上,:定義在R上的函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)任意x滿足條件:f(x+a)=2bf(ax),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱,，多做些這種類型的變式訓(xùn)練.解：由f(x)是偶函數(shù),得f(x)=f(x),即sin(ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以cosφsinωx=cosφsinωx對任意x都成立.又ω0,所以,得cosφ=0.依題設(shè)0≤φ≤π,所以,解得φ=.由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M對稱,得f(x)=f(+x).取x=0,得f()=f(),所以f()=0.∵f()=sin(+)=cos,∴cos=0.又ω0,得=+kπ,k=0,1,2,….∴ω=(2k+1),k=0,1,2,….當(dāng)k=0時(shí),ω=,f(x)=sin(x+)在[0,]上是減函數(shù)。(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.解:(1)f(x)=sinωx+cosωx+sinωxcosωx(cosωx+1)=2(sinωxcosωx)1=2sin(ωx)1.由1≤sin(ωx)≤1,得3≤2sin(ωx)1≤1,可知函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,1］.(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì),可知y=f(x)的周期為π,又由ω0,得=π,即得ω=2.于是有f(x)=2sin(2x)1,再由2kπ≤2x≤2kπ+(k∈Z),解得kπ≤x≤kπ+(k∈Z). 所以y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［kπ,kπ+］(k∈Z). 點(diǎn)評:本題主要考查三角函數(shù)公式,三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)有關(guān)知識的能力.例1 求函數(shù)y=sin4x+23sinxcosxcos4x的最小正周期和最小值。BC=(cosαsinα)sinα=sinαcosαsin2α.求這種y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函數(shù)的最值，應(yīng)先降冪，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函數(shù)求最值.教師引導(dǎo)學(xué)生思考：要求當(dāng)角α取何值時(shí),矩形ABCD的面積S最大,可分兩步進(jìn)行:圖1(1)找出S與α之間的函數(shù)關(guān)系。3sinαcosα=0.∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.解法三:由已知3sin2α=cos2β,sin2α=sin2β,兩式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(2β).∵α∈(0,),∴tanα0.∴tan(2β)0.又∵β∈(0,),∴2β.結(jié)合tan(2β)0,得02β.∴由tanα=tan(2β),得α=2β,即α+2β=.例2 求證: 活動：證明三角恒等式,一般要遵循“由繁到簡”的原則,另外“化弦為切”與“化切為弦”也是在三角式的變換中經(jīng)常使用的方法.證明:證法一:左邊===右邊.∴原式成立.證法二:右邊=1===左邊.∴原式成立. 點(diǎn)評：此題進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生三角恒等式的變形,靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式的能力以及邏輯推理能力.變式訓(xùn)練:.分析：運(yùn)用比例的基本性質(zhì),可以發(fā)現(xiàn)原式等價(jià)于,此式右邊就是tan2θ.證明:原等式等價(jià)于.而上式左邊==tan2右邊.∴上式成立,即原等式得證.=mtanB1.∴S1.思路2例1 證明=tan(+). 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，對于三角恒等式的證明，可從三個(gè)角度進(jìn)行推導(dǎo)：①左邊→右邊；②右邊→左邊；③左邊→中間條件←,三角函數(shù)的種類為正弦，余弦，右邊是半角，三角函數(shù)的種類為正切.解：方法一：從右邊入手，切化弦，得tan(+)=,由左右兩邊的角之間的關(guān)系，想到分子分母同乘以cos+sin,得方法二：從左
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1