第一章函數(shù)與極限-資料下載頁(yè)
2025-10-31 22:38本頁(yè)面
【正文】 接著求值見(jiàn)上文所述方法），使計(jì)算一目了然。因此掌握和記憶常用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln(1+x)等等。至于展開(kāi)式展開(kāi)多少，則要與題干中的自變量x最高次項(xiàng)保持一致。如cosxelimx174。0x4x4)。x2利用泰勒公式展開(kāi)cosx,ex22，展開(kāi)到x4即可(原式x最高次項(xiàng)為六、利用微分中值定理來(lái)求極限f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)x206。(a,b)，使f39。(x)=f(b)f(a)39。f(b)f(a),f(x)即可看成特殊的極限，用來(lái)求解。一般需baba要函數(shù)式可以看成同一函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)的差，這樣可以使用微分中值定理。參見(jiàn)附例4。另外，一些重要的結(jié)論往往在求極限時(shí)可以直接加以引用，例如lim(1+x)=e，limx174。01xsinx=1，=1，=1等等。x174。0nnx求極限的方法和技巧更多的在于實(shí)踐中的摸索和探討，上述方法只是筆者在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和練習(xí)的一些心得，求極限的方法還有很多。局限于筆者的認(rèn)知水平，缺點(diǎn)和不足在所難免，敬請(qǐng)批評(píng)指正。南開(kāi)大學(xué)張陽(yáng)和張效成老師的課堂教學(xué)給了筆者很大的啟發(fā)，在此向兩位老師表示感謝。附：例1：對(duì)任意給定的e206。(0,1)，總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時(shí)，恒有。xna163。2e，是數(shù)列{xn}收斂于a的（）A 充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件解析：這道題是1999年全國(guó)考研試卷(二)的數(shù)學(xué)選擇題，這道題直接考察了對(duì)極限定義的掌握和理解。例2：若x1=a，y1=b（ba0），xn+1=xnyn，yn+1=明數(shù)列{xn},{yn}有相同的極限。（見(jiàn)習(xí)題冊(cè)1 ）解析：由已知條件易知，b=y1179。y2179?！?79。yn+1179。xn+1179?！?79。x1=a，數(shù)列xn+1+yn+1，試證2文中習(xí)題冊(cè)是指南開(kāi)大學(xué)薛運(yùn)華，趙志勇主編的《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課講義（上冊(cè)）》，為學(xué)生用數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè)。x+ynlimyn+1=lin{xn}，{yn}單調(diào)有界，可以推出{xn}，{yn}收斂。n174。165。n174。165。n174。165。設(shè)limyn=A，limxn=B，則222。A=n174。165。A+B,222。A=B。2例3：求lim(ntan)n的值。（見(jiàn)課本2 ）n174。165。n1246。230。解析：這是數(shù)列。設(shè)f(x)=231。xtan247。，則對(duì)limf(x)可以運(yùn)用洛必達(dá)法則，x174。+165。x248。232。且原式=limf(x)。x174。+165。x2aaarctan),a0n174。165。nn+1arctan解析：如例題3，設(shè)f(x)=a，則在[x,x+1]上f(x)連續(xù)，在(x,x+1)內(nèi)x例4：求limn2(arctan可導(dǎo)。于是，$x206。(x,x+1),f39。(x)=arctanaaaarctan=2（使用微分中x+1xa+x2a)=a。22a+x值定理可得）。x174。165。,則x174。165。,原式=limx2（x174。165。參考書目[1] 張效成主編，《經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）》，天津大學(xué)出版社，2005年7月 [2] 薛運(yùn)華，趙志勇主編，《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課講義（上冊(cè)）》，南開(kāi)大學(xué) [3] 張友貴等，《掌握高等數(shù)學(xué)（理工類、經(jīng)濟(jì)類）》，大連理工出版社，2004年11月[4]《碩士研究生入學(xué)考試試題》，1984—2005※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○文中課本是指筆者使用的天津大學(xué)出版社05年7月版的《經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）》張效成主編第五篇：第一章函數(shù)與極限（本站推薦）第一章函數(shù)與極限第一節(jié) 映射與函數(shù)一、集合集合的概念集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，我們先通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)概念。例如，一個(gè)書柜的書構(gòu)成一個(gè)集，一間教室里的學(xué)生構(gòu)成一個(gè)集合，全體實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合等等。所謂集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，組成這個(gè)集合的事物為改集合的元素（簡(jiǎn)稱元）。通常用寫拉丁字母A,B,C、、表示集合，用小寫字母a,b,b、表示集合的元素。如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A記作aA。一個(gè)集合，若他只含有限個(gè)元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無(wú)限集。表示集合的方法通常有以下兩種：一種是列舉法，就是把集合的全體元素一一列舉出來(lái) 表示。例如，由元素a1,a2 ,、an組成的集合A，可表示成 A={a1,aan}；另一種是描述法，若集合M是由具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成的，就可表示成 M={x|x具有性質(zhì)p}；22例如，集合B是方程x1=0的解集，就可表示為 B={x|x1=0}.
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