高等數(shù)學(xué)(上冊)教案10隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)導(dǎo)數(shù)-資料下載頁
2025-10-16 04:11本頁面
【正文】 高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h(t)=++10的圖像，圖(2）表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度V(t)=h39。(t)=+, 運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？此時(shí)你能發(fā)現(xiàn)h(t)和h39。(t)這兩個(gè)函數(shù)圖像有什么聯(lián)系嗎?啟發(fā):函數(shù)h39。(t)在(0,a)上是大于0，函數(shù)h(t)在(0,a)上有何特點(diǎn)呢？函數(shù)h39。(t)在(a，b)上是小于0，那么函數(shù)h(t)在(a,b)上有何特點(diǎn)呢？問題2：觀察圖（1）～圖（4），探討函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)是否也存在問題（1）的關(guān)系呢？問題3：通過對(duì)問題1和問題2的觀察，你能得到原函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào)有何關(guān)系？你能得到怎樣的結(jié)論？（形成初步結(jié)論，板書結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f39。(x)0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f39。(x)0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．）問題4：上述結(jié)論主要是通過觀察得到的，你能結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義為切線的斜率，你能從這個(gè)角度給予說明嗎？探究任務(wù)二：f39。(x)=0與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：問題5：若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f39。(x)=0，那么f(x)會(huì)是一個(gè)什么函數(shù)呢？（板書：特別的，如果）f39。(x)=0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常值函數(shù)．問題6：平時(shí)我們遇到很多需要數(shù)形結(jié)合的題目，那么現(xiàn)在我們知道了導(dǎo)數(shù)的正負(fù)能幫助我們判斷函數(shù)的單調(diào)性，那么我們能否利用導(dǎo)數(shù)信息畫出函數(shù)的大致圖像呢？例1:已知某函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的下列信息:時(shí)，f39。(x)0。當(dāng)1x4時(shí)，f39。(x)0。當(dāng)x4,或x1時(shí)，f39。(x)=(x)=4,或x=1跟蹤練習(xí)設(shè)y=f162。(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù), y=f162。(x)的 圖象如圖所示, 則y=f(x)的圖象最有可能是()問題7：根據(jù)我們得到的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間關(guān)系的結(jié)論，你能否利用此結(jié)論來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間呢？例3：判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:（1）f(x)=sinxx,x206。(0,p)。（2）f(x)=2x3+3x224x+1。（3）f(x)=x3+3x。（4）f(x)=x22x3。（5）f(x)＝x＋ln x（對(duì)于（2）讓學(xué)生課后探究嘗試單調(diào)性的定義法和圖象法）問:你對(duì)利用導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的單調(diào)性有什么看法?你能總結(jié)出利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間的步驟嗎？（簡單易行）（板書“求解函數(shù)y=f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定函數(shù)y=f(x)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)y39。=f39。(x)；（3）解不等式f39。(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4）解不等式f39。(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．問題8：導(dǎo)數(shù)能幫助我們簡潔的求出單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖象，但我們知道就是遞增（遞減）也有快與慢的區(qū)別，在導(dǎo)數(shù)上如何體現(xiàn)呢？下面我們就來看一下下面這個(gè)問題例3．，水以常速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖像．分析：在導(dǎo)數(shù)幾何意義那節(jié)我們就感受了增加與減少也由快慢之分，那么我們以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時(shí)，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．解：(1)174。(B),(2)174。(A),(3)174。(D),(4)174。(C)思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？一般的，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．如右圖, 函數(shù)y=f(x)的圖象，在(0,b)或(a,0)內(nèi)的圖象“陡峭”, 在(b,+165。)或(165。,a)內(nèi)的圖象平緩.（跟蹤練習(xí)）已知f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是()三，課堂練習(xí)1．確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)y=ex(2)y=3x－x3(3)f(x)=3x22lnx x四，課堂小結(jié):若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), ′如果f(x)0, 則f(x)為增函數(shù)。如果f′(x)
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