【正文】 負(fù)元。并且，假如R是交換環(huán)，那么R也是交換環(huán)；假如R有單位元1，那么R也有單位元1，而且1是1的象。定理：假定S是環(huán)R的一個(gè)子環(huán)，S在R里的補(bǔ)足集合（這就是所有不屬于S的R的元作成的集合）與另一個(gè)環(huán)S沒有公共元，并且S@S,那么存在一個(gè)與R同構(gòu)的環(huán)R，并且S是R的子環(huán)。第六節(jié) 多項(xiàng)式環(huán)多項(xiàng)式定義：一個(gè)可以寫成a0+a1182。+L+an182。nai206。R,n是179。0的數(shù)形式的R0的元叫做()R上的182。的一個(gè)多項(xiàng)式，ai叫做多項(xiàng)式的系數(shù)。多項(xiàng)式環(huán)的定義：R[182。]叫做R上的182。的多項(xiàng)式環(huán)。未定元的定義：R0的一個(gè)元x叫做R上的一個(gè)未定元，假如在R里找不到不都等于零的元a0,a1,L,an，使得a0+a1x+L+anxn=0多項(xiàng)式次數(shù)的定義：令a0+a1x+L+anx,an185。0是環(huán)R上一個(gè)一元多項(xiàng)式。那么非負(fù)整數(shù)n叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。多項(xiàng)式0沒有次數(shù)。對于給定的R0來說，R0未必含有R上的未定元。定理1：給了一個(gè)有單位元的交換環(huán)R，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的n多項(xiàng)式環(huán)R[x]存在。無關(guān)未定元的定義：R0的n個(gè)元x1,x2,L,xn叫做R上的無關(guān)未定元，假如任何一個(gè)R上的x1,x2,L,xn的多項(xiàng)式都不會(huì)等于零，除非這個(gè)多項(xiàng)式的所有系數(shù)都等于零。定理2：給了一個(gè)有單位元的交換環(huán)R同一個(gè)正整數(shù)n，一定有R上的無關(guān)未定元x1,x2,L,xn存在，因此也就有R上的多項(xiàng)式環(huán)R[x1,x2,L,xn]存在。定理3：假如R[x1,x2,L,xn]和R[182。1,182。2,L,182。n]都是有單位元的交換環(huán)R上的多項(xiàng)式環(huán)，那么R[x1,x2,L,xn]與x1,x2,L,xn是R上的無關(guān)未定元，182。1,182。2,L,182。n是R上的任意元，R[182。1,182。2,L,182。n]同態(tài)。第七節(jié) 理想理想的定義：環(huán)R的一個(gè)非空子集D叫做一個(gè)理想子環(huán)，簡稱理想。假如①a,b206。D,則ab206。D②a206。D,r206。R,ra,ar206。D注：理想是子環(huán)，但子環(huán)不一定是理想。一個(gè)環(huán)至少有兩個(gè)理想：①只包含零元的集合，這個(gè)理想叫做R的零理想②R本身，稱單位理想。定理1：除環(huán)只有兩個(gè)理想，即零理想和單位理想。主理想的定義：a206。R，由a生成的理想（即包含a的所有理想的交或包含a的最小理想）稱為主理想，記為（a）。第八節(jié) 剩余類環(huán)剩余類的定義：對于給定的環(huán)R及其一個(gè)理想D，若只就加法來看，R作成一個(gè)群，D作成R的一個(gè)不變子群。這樣D的陪集[a],[b],[c],L作成R的一個(gè)分類。我們把這些類叫做模D的剩余類。定理1：假定R是一個(gè)環(huán)，D是它的一個(gè)理想，R是所有模D的剩余類作成的集合，那么R本身也是一個(gè)環(huán)，并且R與R同態(tài)。剩余類環(huán)的定義：R叫做環(huán)R的模D的剩余類環(huán)，用符號R/D來表示。定理2：假定R和R是兩個(gè)環(huán)，并且R和R同態(tài)，那么這個(gè)同態(tài)滿射的核D是R的一個(gè)理想，并且R/D@R。定理3：在環(huán)R到環(huán)R的一個(gè)同態(tài)滿射下，有 ①R的一個(gè)子環(huán)S的象S是R的一個(gè)子環(huán)； ②R的一個(gè)理想D的象D是R的一個(gè)理想； ③R的一個(gè)子環(huán)S的逆象S是R的一個(gè)子環(huán)； ④R的一個(gè)理想D的逆象D是R的一個(gè)理想。第九節(jié) 最大理想 最大理想的定義：一個(gè)環(huán)R的一個(gè)不等于R的理想D叫作一個(gè)最大理想，假如除了R同D自己以外，沒有包含D的理想。注：除環(huán)的最大理想是零理想（除環(huán)包括域）定理：D是R的理想（D185。R），R/D只有平凡理想219。D是R的最大理想。引理：R是含有單位元的交換環(huán)，若R只有平凡理想，則R是域。定理：R是有單位元的交換環(huán)，D是環(huán)R的理想，則R/D是域219。D是最大理想。第十節(jié) 商域定理1：每一個(gè)沒有零因子的交換環(huán)R都是一個(gè)域Q的子環(huán)。定理2：Q是所有元a(a,b206。R,b185。0)所作成的，這里a=ab1=b1a bb商域的定義：一個(gè)域Q叫做環(huán)R的一個(gè)商域，假如Q包含R，并且Q剛好是由所有元a(a,b206。R,b185。0)所作成的。b定理3：假定R是一個(gè)有兩個(gè)以上的元的環(huán)，F(xiàn)是一個(gè)包含R的域，那么F包含R的一個(gè)商域。定理4：同構(gòu)的環(huán)的商域也同構(gòu)。一個(gè)環(huán)最多只有一個(gè)商域?？偨Y(jié)：本章定理，推理及引理：⒈在一個(gè)沒有零因子的環(huán)里兩個(gè)消去律都成立：a185。0,ab=ac222。b=ca185。0,ba=ca222。b=c反過來，在一個(gè)環(huán)里如果有一個(gè)消去律成立，那么這個(gè)環(huán)沒有零因子。推論：在一個(gè)環(huán)里如果有一個(gè)消去律成立，那么另一個(gè)消去律也成立。，那么n是一個(gè)素?cái)?shù)。推論：整環(huán)，除環(huán)以及域的特征或是無限大，或是一個(gè)素?cái)?shù)p。，使得R與R對于一對加法以及一對乘法來說都同態(tài)，那么R也是一個(gè)環(huán)。，并且R和R同態(tài)。那么R的零元的象是R的零元，R的元a的負(fù)元的象是a的象的負(fù)元。并且，假如R是交換環(huán)，那么R也是交換環(huán)；假如R有單位元1，那么R也有單位元1，并且1是1的象。，并且R@R。那么，若R是整環(huán)，R也是整環(huán)；R是除環(huán)，R也是除環(huán)；R是域，R也是域。，S在R里的補(bǔ)足集合與另一個(gè)環(huán)S沒有共同元，并且S@S。那么存在一個(gè)與R同構(gòu)的環(huán)R，并且S是R的子環(huán)。，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的多項(xiàng)式環(huán)R[x]存在。，一定有R上的無關(guān)未定元x1,x2,L,xn存在，因此也就有R上的多項(xiàng)式環(huán)R[x1,x2,L,xn]存在。[x1,x2,L,xn]和R[a1,a2,L,an]都是有單位元的交換環(huán)R上的多項(xiàng)式環(huán)，x1,x2,L,xn是R上的無關(guān)未定元，a1,a2,L,an是R上的任意元，那么R[x1,x2,L,xn]與R[a1,a2,L,an]同態(tài)。，就是零理想和單位理想。，u是它的一個(gè)理想，R是所有模u的剩余類作成的集合，那么R本身也是一個(gè)環(huán)，并且R與R同態(tài)。，并且R與R同態(tài)，那么這個(gè)同態(tài)滿射的核并且Ru是R的一個(gè)理想，u@R。，；；；u的逆象u是R的一個(gè)理想； ，u是R的一個(gè)理想。Ru是一個(gè)域，當(dāng)而且只當(dāng)u是一個(gè)最大理想的時(shí)候。aa(a,b206。R,b185。0)所作成的，這里=ab1=b1a。bb ，F(xiàn)是一個(gè)包含R的域，那么F包含R的一個(gè)商 。常用的計(jì)算規(guī)則：⑴.0+a=a+0=a⑵.a+a=aa=0⑶.(a)=a⑷.a+c=b219。c=ba⑸.(a+b)=ab,(ab)=a+b⑹.mna=mna,n(a+b)=na+nb ⑺.(ab)c=acbcc(ab)=cacb⑻.0a=a0=0（這里的0都是R的零元）⑼.(a)b=a(b)=ab ⑽.(a)(b)=ab⑾.a(b1+b2+L+bn)=ab1+ab2+L+abn(b1+b2+L+bn)a=b1a+b2a+L+bna⑿.(a1+a2+L+am)(b1+b2+L+bn)=a1b1+L+a1bn+L+amb1+L+ambn⒀.(na)b=a(nb)=n(ab)⒁.aman=am+n(a)mn=amn數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 09級數(shù)本（1）班 段 秀 寬 20092111869