【導(dǎo)讀】含其他人已經(jīng)發(fā)表的研究成果，也不包含他人或其他教學(xué)機(jī)構(gòu)取得的研究成果。本人了解并遵守衡水學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文的規(guī)定。全部或部分內(nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文及相關(guān)資料。本文介紹了幾種常見的對(duì)稱性在積分計(jì)算過程中的。簡(jiǎn)化重積分，曲線積分，曲面積分的計(jì)算方法。另外，對(duì)于曲面積分的計(jì)算，本文還給

　　

【正文】 積分 dsyxax 2228 ?????,其中 2222: azyx ???? 解： 令 :1? 2222 azyx ??? ， ax??0 ， ay??0 ， az??0 則 :1D 222 ayx ?? ， ax??0 ， ay??0 dsdyzyzxds 221 ??? =222 yxaa ?? ? 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解被積函數(shù) ),( zyxf = dsyxax 2228 ?? 為關(guān)于 ),( zyx 的偶函數(shù) 由推論 dsyxax 2228 ?????=8 dsyxax 2228 ????? =a8 dsdyxD??1 8 ???1 89 cos8 D dra ?? drrda a? ?? 20 0 9c os8 ? ?? =a8 1110 6472!!8 !!710 aa ?? ? 定理 2：若積分曲面 ? 關(guān)于 x ,y ,z 具有輪換對(duì)稱性，則： ??? dszyxf ),( =??? dsxzyf ),( =??? dsyxzf ),( =31 ??? dszyxf ),(+??? dsxzyf ),(+??? dsyxzf ),( 例 3：計(jì)算曲面積分 dsz???2，其中 s 是球面 2222 azyx ??? 解：如果按照常規(guī)方法來解，計(jì)算量比較大，如果利用對(duì)稱函數(shù)的特性，非常簡(jiǎn)捷 ∵球面 2222 azyx ??? 關(guān)于 x ,y ,z 具有對(duì)稱性 第 18 頁 共 19 頁 ∴ dszdsydsx ?? ????? ?? ??222 ∴ dsz???2= dszyx??? ?? )(31 222 = dsdsa ?????? ? 3131 2 = 22234431 aaa ?? ? 第二類曲面積分的對(duì)稱性定理 利用對(duì)稱性計(jì)算第二類曲面積分同樣需要注意投影元素的符號(hào) .現(xiàn)以曲面積分( , , )s f x y z ds?? 為例來討論 .當(dāng)曲面指定側(cè)上動(dòng)點(diǎn)的法線方向與 z 軸正向成銳角時(shí)，面積元素 ds 在 xoy 面上的投影 dxdy 為正減鈍角時(shí)為負(fù) . 一般地，有如下定理： 定理 1：若積分曲面 S 可以分成對(duì)稱的兩部分 12S S S??，在對(duì)稱點(diǎn)上 |f|的值相等，則有 （?。???1 ),(s dxdyzyxf0? ，在對(duì)稱點(diǎn)上 fdxdy 取相反的符號(hào) （ⅱ） ??1 ),(s dxdyzyxf=2 ??1 ),(s dxdyzyxf，在對(duì)稱點(diǎn)上 fdxdy 的符號(hào)相同 ,對(duì)于積分 dydzzyxfs??1 ),(， ??1 ),(s dzdxzyxf也有類似的結(jié)論 定理 2：若積分曲面 ? 關(guān)于 x ,y ,z 具有輪換對(duì)稱性，則： dx dyyxzpdz dxxzypdy dzzyxp?? ?? ??? ? ??? ),(),(),( = ????? dx dyyxzpdz dxxzypdy dzzyxp ),(),(),(31 例 3：計(jì)算 ?? ??s zdx d yy d x dyx d y dz，其中 S 是球面 2222 Rzyx ??? 的外側(cè) 解： ∵球面 2222 Rzyx ??? 關(guān)于 x ,y ,z 具有對(duì)稱性 ∴ ?? ?? ????s s s zdx dyy dx dzx dy dz 先計(jì)算 ??s xdydz為此應(yīng)分別考慮前半球面（記為 1S ） 及后半球面（記為 2S ）上的曲面部分 第 19 頁 共 19 頁 1S 的方程為 222 zyRx ??? ，它在 oyz 平面上的投影域 yD 為圓域 222 Rzy ?? ，因此，若用 1wS 表示 前半球面的外側(cè) 則有： ?dzyRx dy dzwS Dy?? ?? ???1222 = 30 2220 32 RdrrRrdR ??? ???? 對(duì)于在后半球面 2S 上的曲面積分，由于 2S 的方程為： 222 zyRx ??? 而外側(cè)即后外側(cè)，故關(guān)于后半球面外側(cè)（記為 2wS ）的曲面積分為： 32222 32 RdzyRx dy dzwS Dy?? ?????? ?? 因此 31 2 34 Rx dy dzx dy dzx dy dzS wS wS??? ?? ?? ??? ?? ?????S s x dy dzz dx dyy dx dzx dy dz 3 33 4343 RR ?? ??? 第 20 頁 共 19 頁 小結(jié) 應(yīng)用對(duì)稱性計(jì)算積分 時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： ，只有當(dāng)兩個(gè)方面面都具有某種對(duì)稱性是才能利用，如果只有積分區(qū)域具有某種對(duì)稱性，這時(shí)根據(jù)具體情況，我們可以把被積函數(shù)經(jīng)過恒等變形使之具有某種對(duì)稱性，在考慮利用上述結(jié)論 ，在利用對(duì)稱性時(shí)，尚需考慮積分路 線的方向和曲面的側(cè)，確定投影元素的符號(hào)，需慎重 對(duì)于重積分，曲線積分，曲面積分等定理的研究，是積分學(xué)運(yùn)用的一個(gè)難點(diǎn) .本 文在探討相關(guān)定理的同時(shí)，特別是巧妙的運(yùn)用其對(duì)稱性的特點(diǎn) ，通過具體實(shí)例對(duì)積分運(yùn)用的幾個(gè)重要的定理進(jìn)行了一些列研究，發(fā)現(xiàn)積分區(qū)域與被積函數(shù)二者均具對(duì)稱性時(shí)，運(yùn)用上述對(duì)稱性定理可以極大地簡(jiǎn)化計(jì)算過程，尤其對(duì)于第二類曲線積分和第二類曲面積分來說，應(yīng)用此方法能夠 方向和曲面?zhèn)鹊挠懻?，?jiǎn)化了計(jì)算的過程，給積分的運(yùn)算帶來了便捷， .在以后的學(xué)習(xí)中，只要我們能把對(duì)稱性這個(gè)重要的特點(diǎn)結(jié)合在實(shí)際中，相信一定會(huì)達(dá)到了事倍功半的效果 . 第 21 頁 共 19 頁 參考文獻(xiàn) ［ 1］ 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 .高等數(shù)學(xué) [M].北京：高等教育出版社 .2020. ［ 2］ 北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 .高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo) [M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社 .2020 ［ 3］ 魏平 .關(guān)于曲線、曲面積分對(duì)稱性的應(yīng)用初探［ J］ .高等數(shù)學(xué)研究 .1988（ 1）：3032 ［ 4］ 陳云新 .對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用［ J］ .數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用 .2020（ 4）： 1316 ［ 5］ 徐小洪 .對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用［ J］ .高等數(shù)學(xué)研究所 .2020（ 1）： 2427 [6] 王壽生等編 .130 所高校研究生高等數(shù)學(xué)入學(xué)試題選解及分析 [M].沈陽：遼寧科技出版社 . 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