北師大版高考數學一輪總復習34定積分與微積分基本定理(理)-資料下載頁
2025-11-10 01:41本頁面
【導讀】第二章函數與基本初等函數?？季V要求命題分析。思想，了解定積分的概。從近幾年高考命題看，本節(jié)內容多以選擇。題或填空題形式出現，主要是利用微積分?；径ɡ磉M行計算求值，利用定積分的幾。何意義求平面圖形的面積．。預測2020年高考仍將堅持考查利用定積分。的方法很靈活，備考中應予以關注.區(qū)間分成n份，分點為：a＝x. 第i個小區(qū)間為[x. ]，設其長度為Δx. 如果每次分割后，最大的小區(qū)間的長度趨于0，S與s的差。也趨于0，此時，S與s同時趨于某一個固定的常數A，我們就。其中∫叫作______，a叫作______，b叫作______，f叫。當f在區(qū)間[a，b]上小于0時，當f在區(qū)間[a，b]上有正有負時，＝a，x＝b(a≠b)之間x軸上、下相應的曲邊梯形的面積的代。一般地，如果f是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數，并且F. 定理，又叫作牛頓—萊布尼茲公式．可以把F－F記為。______________，可將基本初等函數的導數公式逆向使用．。[解析]所求路程為。＝×64＋×8－×16－×4
【正文】 積． 求曲線 y ＝ x ， y ＝ 2 － x ， y ＝－13x 所圍成圖形的面積． [ 解析 ] 由????? y ＝ x ，y ＝ 2 － x ，得交點 A ( 1,1) ； 由????? y ＝ 2 － xy ＝－13x得交點 B (3 ，－ 1) ． 故所圍成區(qū)域的面積為 S ＝????01( x ＋13x )d x ＋????13(2 － x ＋13x )d x ＝ (23x 32 ＋16x2)|10＋ (2 x －13x2)|31 ＝23＋16＋43＝136. 定積分在物理中的應用 一物體做變速直線運動，其 v － t 圖線如圖所示，求該物體在12s ～ 6s 間的運動路程． [ 思路分析 ] 從上圖可以看出物體在 0 ≤ t ≤ 1 時做加速運動， 1 ≤ t ≤ 3 時做勻速運動， 3 ≤ t ≤ 6 時也做加速運動，但加速度不同，也就是說 0 ≤ t ≤ 6 時， v ( t ) 為一個分段函數，故應分三段求積分才能求出曲邊梯形的面積． [ 規(guī)范解答 ] v ( t ) ＝??????? 2 t ? 0 ≤ t 1 ?2 ? 1 ≤ t 3 ?13t ＋ 1 ? 3 ≤ t ≤ 6 ?， 由變速直線運動的路程公式，可得 [ 方法總結 ] 定積分在物理中的應用主要有兩個方面： ( 1) 求路程． 做變速運動的物體在一段時間間隔內所走的路程，可以利用該物體運動的速度關于時間的函數在該時間段上的積分來求解．因此要求一個物體在一段時間內的路程，只要求出其運動的速度函數，再利用微積分基本定理求出該時間段上的定積分即可，即物體做變速直線運動的路程 s ，等于其速度 函數 v ＝ v ( t )( v ( t ) ≥ 0) 在時間區(qū)間 [ a ， b ] 上的定積分????abv ( t )d t . 另外物體做變速直線運動的速度 v ，等于加速度函數 a ＝ a ( t ) 在時間區(qū)間 [ a ， b ] 上的定積分????aba ( t )d t . ( 2) 變力做功 變力做功：一物體在變力 F ( x ) 的作用下作直線運動，并且物體沿著與 F ( x ) 相同的方向從 x ＝ a 移動到 x ＝ b ( a b ) ，則變力 F ( x ) 所做的功為 W ＝????abF ( x )d x . 一物體以 v ( t ) ＝ t2－ 3 t ＋ 8( m/s ) 的速度運動，在前 30s 內的平均速度為 ________ ． [ 答案 ] 26 3 m/s [ 解析 ] 由定積分的物理意義有： s ＝ ∫300( t2－ 3 t ＋ 8) d t ＝ (13t3－32t2＋ 8 t )|300＝ 7 890( m) ． ∴ v ＝st＝7 89030＝ 263( m/s ) . 易 錯 警 示 求曲線 f ( x ) ＝ sin x ， x ∈ [0 ，54π] 與 x 軸圍成的圖形的面積． [ 錯解 ] 設曲線 f ( x ) ＝ sin x ， x ∈ [0 ，54π] 與 x 軸圍成的圖形的面積為 S ， [ 錯因分析 ] 本題的錯誤在于沒有理解定積分的幾何意義，當對應的曲邊梯形位于 x 軸下方時，定積分的值取負值 ，其面積應是該定積分的相反數． [ 正確解答 ] 對于 f ( x ) ＝ sin x ， 當 x ∈ [0 ， π] 時， f ( x ) ≥ 0 ， 當 x ∈ (π ，54π] 時， f ( x ) 0 ， [ 誤區(qū)警示 ] 利用定積分求圖像所圍成的陰影部分的面積時，要注 意利用數形結合的方法確定出被積函數和積分的上限與下限，同時要注意圖像與 x 軸的位置 . 名 師 點 睛 一種思想 定積分基本思想的核心是 “ 以直代曲 ” ，用 “ 有限 ” 的步驟解決 “ 無限 ” 過程的問題，其方法是 “ 分割求近似，求和取極限 ” ，利用這種方法可推導球的表面積和體積公式等． 一個公式 由微積分基本定理可知求定積分的關鍵是求導函數的原函數，由此可知，求導與積分是互為逆運算． 三條性質 ( 1) 常數可提到積分號外； ( 2) 和差的積分等于積分的和差； ( 3) 積分可分段進行．
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