21-變量分離方程與變量變換-資料下載頁
2025-07-24 05:01本頁面
【正文】 ???此外 ,諸如 )( cbyaxfdxdy ???0)()( ?? dyxyxgdxxyyf)(2 xyfdxdyx ?)( 2xyxfdxdy ?cbyaxu ????xyu ??2xyu ??xyu ??以及 0))(,())(,( ???? y d xx d yyxNy d yx d xyxM.,),(變量分離方程均可適當(dāng)變量變換化為些類型的方程等一次數(shù)可以不相同的齊次函數(shù)為其中 yxNM例 8 求微分方程 0)()( 22 ???? dyyxxdxxyy的通解 . 解 : ,xyu ?令 y d xx d ydu ??則代入方程并整理得 0))(1()1( ????? u dxx d uudxuu即 0)1(2 2 ??? duuxdxu分離變量后得 xdxduuu 212 ??兩邊積分得 cxuu??? 2lnln1變量還原得通解為 .ln1cyxxy??三、應(yīng)用舉例 例 雪球的融化 設(shè)雪球在融化時(shí)體積的變化率與表面積成比例，且在融化過程中它始終為球體，該雪球在開始時(shí)的半徑為 6cm，經(jīng)過 2小時(shí)后，其半徑縮小為 3cm，求雪球的體積隨時(shí)間變化的關(guān)系。 解 : 則表面積為雪球的體積為設(shè)在時(shí)刻 ),(),( tstvt)()( tksdttdv ??根據(jù)球體的體積和表面積的關(guān)系得 )(3)4()( 323231tvts ??再利用題中條件得引入新常數(shù) ,3)4( 3231k?? ?3232313)4( vkdtdv ????? 36)2(,288)0( ?? vv,32v???分離變量并積分得方程的通解為 .)(271)( 3tctv ???由初始條件得 3369,636 ??? ??c代入得雪球的體積隨時(shí)間的變化關(guān)系為 .)312(6)( 3ttv ?? ?].4,0[: ?t實(shí)際問題要求注作業(yè) ? P31 1, 3, ? P31 6,9。13,15,18(2),
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