【正文】 (55) (56)其離散表達(dá)式為 (57) (58)由式(53)、(54)與式(55)、(56)得 (59)將式(57)、(58)帶入式(53)、(54)得 (510) (511)三角級(jí)數(shù)法是工程上一種常用方法，它假設(shè)軌道不平順是具有零均值的各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)高斯過程，并將其用三角級(jí)數(shù)表示。下面對(duì)三角級(jí)數(shù)法從原理及步驟上給予闡述。將軌道不平順展開成復(fù)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù) (512)由于且，故式(512)可改寫為 (513)為描述系數(shù)的隨機(jī)性質(zhì)，引入隨機(jī)變量并令其在區(qū)間上服從均勻分布，于是可構(gòu)造出如下軌道不平順隨機(jī)過程的三角級(jí)數(shù)表達(dá)式 (514)式中。由于三角級(jí)數(shù)法同功率譜的快速傅式變換數(shù)值計(jì)算方法間存在區(qū)別，從而三角級(jí)數(shù)模擬樣本的功率譜與解析功率譜間存在誤差。 逆傅氏變換法逆傅氏變換法[1]基于功率譜快速數(shù)值算法原理，但在計(jì)算方法上采用了傅氏逆變換，使隨機(jī)樣本的模擬速度較三角級(jí)數(shù)法有大幅度的提高。二次濾波法需要進(jìn)行濾波器的設(shè)計(jì)，對(duì)不同功率譜密度函數(shù)的軌道不平順，均需設(shè)計(jì)出合理的濾波器，因此缺乏通用性。三角級(jí)數(shù)法和白噪聲濾波法是將軌道不平順看作平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，這顯然不完全與實(shí)際情況相符，文獻(xiàn)[10]證明軌道不平順并不都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，事實(shí)上，軌道不平順功率譜是對(duì)時(shí)域采樣信號(hào)通過周期圖法估計(jì)而獲得的，其計(jì)算核心是快速傅立葉變換，鑒于以上方法的各種缺點(diǎn)，而逆傅氏變換法誤差較小，運(yùn)算速度較快，通用性強(qiáng)，故本文采用逆傅氏變換法對(duì)功率譜函數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬。 估計(jì)功率譜的BlackmanTurkey（BT）法在介紹逆傅氏變換法之前，有必要先介紹一下估計(jì)功率譜的BlackmanTurkey法。設(shè)時(shí)間序列，記錄長(zhǎng)度，為時(shí)間間隔，對(duì)于相關(guān)函數(shù)的時(shí)遲，也為離散值，則 (515)式中：； ；、為時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)。則 (516)式中：為時(shí)間序列的功率譜密度函數(shù)。所以 (517)令，則 (518)又因?yàn)閷?duì)離散傅氏變換，時(shí)間序列已離散周期化，周期為。所以 (519)將式(518)和式(519)帶入式(517)得 (520)式中：為時(shí)間序列，的頻譜；。 逆傅立葉變換的計(jì)算步驟已有的軌道不平順功率譜均是空間域譜，這給軌道不平順樣本的數(shù)值模擬及時(shí)域評(píng)價(jià)帶來不便，所以應(yīng)先將空間頻譜轉(zhuǎn)化成時(shí)域頻譜，再由上述估計(jì)功率譜的周期圖法可知，功率譜密度值在離散的采樣點(diǎn)上與信號(hào)的頻譜有著一個(gè)確定的關(guān)系。如果能夠在功率譜密度函數(shù)上離散采樣，構(gòu)造出頻譜，然后再對(duì)其進(jìn)行傅立葉逆變換，即可得到時(shí)域的模擬軌道不平順激擾函數(shù)。實(shí)施的步驟如下：（1）已有的軌道不平順功率譜均是空間域譜，先將空間頻譜化成時(shí)域譜，以美國(guó)六級(jí)線路軌道高低不平順功率譜為例。 （2）得到時(shí)域功率譜后，由于其為單邊譜，所以要將其轉(zhuǎn)化為雙邊譜，如圖51所示。設(shè)需模擬的時(shí)間序列總時(shí)間為，時(shí)間間隔，則時(shí)域和頻域采樣點(diǎn)數(shù)為，一般不是正好為2的整數(shù)次冪，這時(shí)必須將其轉(zhuǎn)化為2的整數(shù)次冪以保證快速傅立葉的計(jì)算速度足夠快。頻域采樣間隔為。眾所周知，由周期圖法估計(jì)出的功率譜具有周期性，且為偶對(duì)稱序列。如圖51所示，設(shè)功率譜有效頻率段上截止頻率為和下截止頻率，則有效頻率段內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)為。又設(shè)，則的采樣點(diǎn)值記為0。若，則的采樣點(diǎn)值記為0；若，則可增大以滿足。于是得到功率譜的個(gè)離散采樣點(diǎn)值。最后再以此形成以為對(duì)稱中心的偶對(duì)稱序列。圖51 周期功率譜密度采樣圖（3）由式(516)和式(520)可知，時(shí)域序列的頻譜模值為 (521)（4）式(521)給定了序列的頻譜的模值。由于時(shí)間序列為一隨機(jī)過程，其頻譜相位一定具有隨機(jī)性。設(shè)為獨(dú)立相位序列，它的各分量均值為零。又由于實(shí)序列的FFT為復(fù)序列（實(shí)部偶對(duì)稱，虛部奇對(duì)稱）。所以應(yīng)為復(fù)數(shù)，且有，故設(shè) (522)式中服從均勻分布。又因?yàn)榈膶?shí)部關(guān)于偶對(duì)稱，虛部關(guān)于奇對(duì)稱，所以只需求出頻譜，即由式(521)可得 (523)顯然由對(duì)稱條件容易得到。（5）將得到的復(fù)序列進(jìn)行IFFT（快速傅立葉逆變換）可得 (524) 算例以美國(guó)六級(jí)線路軌道高低不平順功率譜為例，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(33)示，其中：；；；，取空間波長(zhǎng)為。則 根據(jù)以上的計(jì)算步驟，利用MATLAB編程工具編寫程序，可以得出數(shù)值模擬圖線如下圖示：（具體程序見附錄 ）圖51 模擬軌道不平順的時(shí)間序列圖52 軌道不平順功率譜解析值與模擬值的比較由圖51可以看出，在1~10s之間，時(shí)間序列呈十分隨機(jī)的分布；~，與文獻(xiàn)[1]的結(jié)果相差不大，從而驗(yàn)證了模擬時(shí)間序列的正確性。圖52中解析值與模擬值的比較可以看出，二者基本重合，模擬精度較高，結(jié)果令人滿意，這也從另一方面再次證明了模擬時(shí)間序列的正確性，這樣的到的時(shí)間序列就可以用于動(dòng)力學(xué)計(jì)算了。 結(jié)論與展望軌道是鐵路系統(tǒng)的主要技術(shù)部件，用于引導(dǎo)列車的運(yùn)行，并將所承受的荷載傳遞給路基。軌道結(jié)構(gòu)由鋼軌、軌枕、聯(lián)結(jié)零件、道床、防爬設(shè)備和道岔等主要部件構(gòu)成，是一種非常復(fù)雜的組合體，具有組合性和散體性，并且所承受的荷載具有隨機(jī)性和重復(fù)性，外加環(huán)境、養(yǎng)護(hù)維修等諸多因素的影響，致使軌道系統(tǒng)在其運(yùn)營(yíng)壽命中自始至終都存在不平順。軌道的平順狀態(tài)，對(duì)行車的安全性、平穩(wěn)性、舒適性，對(duì)車輛和軌道部件的壽命以及環(huán)境噪聲等都有重要影響，是軌道方面直接限制提高行車速度的主要因素。因此，深入研究軌道平順狀態(tài)對(duì)于保證鐵路安全運(yùn)營(yíng)具有十分重要的指導(dǎo)意義。本文從軌道譜和軌道不平順的時(shí)頻分析等方面對(duì)軌道不平順進(jìn)行了研究，主要研究成果和結(jié)論如下：通過本次論文的撰寫，進(jìn)一步理解了軌道不平順的概念及其形成原因，為以后深入研究軌道不平順打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在理解軌道不平順概念的基礎(chǔ)上，分析對(duì)比了國(guó)內(nèi)外幾種典型的軌道譜，通過分析比較，認(rèn)識(shí)到我國(guó)在研究軌道譜方面的欠缺及我國(guó)軌道質(zhì)量狀況較差這一現(xiàn)實(shí)，從而明確了以后研究工作的方向和目標(biāo)。實(shí)測(cè)的軌道不平順數(shù)據(jù)都是時(shí)域數(shù)據(jù)，通過學(xué)習(xí)研究，學(xué)會(huì)利用各種譜估計(jì)方法（本文中主要用到了周期圖法、自相關(guān)法、改進(jìn)的周期圖法（Bartlett法和Welch法）和最大熵法）將其轉(zhuǎn)化為軌道功率密度譜來分析評(píng)價(jià)線路的平順性，從而在實(shí)現(xiàn)了由時(shí)域數(shù)據(jù)向頻域數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化。為滿足動(dòng)力學(xué)分析的需求，還要將頻域數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為時(shí)域數(shù)據(jù)，這一過程就叫做數(shù)值模擬。在總結(jié)國(guó)內(nèi)外常用方法的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)了利用逆傅氏變換法完成對(duì)軌道譜函數(shù)的數(shù)值模擬。以上工作都是在MATLAB編程條件下完成的，因此通過此次對(duì)軌道不平順的研究，熟練掌握了用MATLAB編程來完成數(shù)值計(jì)算的方法。由于軌道系統(tǒng)自身和所承受荷載的特點(diǎn)，決定了軌道不平順的研究是一個(gè)龐大的系統(tǒng)工程，需要大量數(shù)據(jù)資料的積累，涉及眾多學(xué)科的綜合應(yīng)用，需要大量人力物力的投入，兼之作者水平、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和研究時(shí)間的限制，因此，在已做工作的基礎(chǔ)上，仍應(yīng)在以下幾個(gè)方面進(jìn)行更深入細(xì)致的研究：由于我國(guó)在軌道譜研究方面十分欠缺，只做出了少數(shù)線路的軌道譜，所以在以后的研究中，應(yīng)以建立我國(guó)通用軌道譜為目標(biāo)，進(jìn)一步完善軌道不平順的研究工作。在此次的研究中，主要應(yīng)用經(jīng)典譜估計(jì)方法進(jìn)行了軌道功率譜的估計(jì)，而經(jīng)典方法存在分辨率低、精度差等諸多弊端，因此有必要學(xué)習(xí)更多的現(xiàn)代譜估計(jì)方法來估計(jì)軌道的功率譜，以使估計(jì)的分辨率和精度提高，最終達(dá)到一致估計(jì)的目標(biāo)。對(duì)軌道不平順的研究要為機(jī)車車輛的運(yùn)行服務(wù)，因此在對(duì)軌道不平順研究的基礎(chǔ)上，還要深入到車輛動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，研究在軌道不平順信號(hào)激擾下車輛的動(dòng)力狀況，即車輛軌道耦合動(dòng)力學(xué)。致 謝在本文的研究和撰寫過程中，得到了導(dǎo)師翟婉明教授的悉心指導(dǎo)、教誨、鼓勵(lì)和關(guān)懷，翟老師在本文的選題、研究?jī)?nèi)容和研究方法上給予了具體的指導(dǎo)和嚴(yán)格的要求，翟老師在繁忙的科研工作中抽出時(shí)間，為學(xué)生指明方向，指點(diǎn)迷津，提點(diǎn)不足，一直給與了學(xué)生極大的鞭策和幫助，在此謹(jǐn)致以深深的謝意和真摯的敬意。在論文的撰寫過程中，得到了趙春發(fā)老師的無(wú)私幫助，在一些研究難題上提出了許多寶貴意見，學(xué)生在此謹(jǐn)致以誠(chéng)摯的感謝。在論文撰寫過程中，得到了高建敏博士、王少林博士、徐鵬博士的無(wú)私幫助，在研究?jī)?nèi)容和研究方法上提出了許多寶貴的指導(dǎo)意見，同時(shí)還在百忙中抽出時(shí)間仔細(xì)審閱了論文，學(xué)生在此謹(jǐn)致以衷心的感謝。對(duì)以上諸位和其它對(duì)本文工作給予了關(guān)心幫助的所有人員一并致以誠(chéng)摯的謝意！特別感謝含辛茹苦的父母，你們用浸滿艱辛與汗水的默默支持，鋪就了兒子的求學(xué)之路，無(wú)以為報(bào)，只期盼在我取得一點(diǎn)點(diǎn)進(jìn)步之時(shí)，我深愛的家人臉上能夠展露出一絲的欣慰笑容！感謝其他親朋好友給予我的幫助和支持！最后，真誠(chéng)的感謝參加本文評(píng)閱和答辯的專家和學(xué)者！參考文獻(xiàn)[1] 陳果，[J].，34(2)：138~142[2] [M].：科學(xué)出版社，2007，106~114[3] 張玲華，[M].北京：[4] 王元豐，王穎，[J].，19(6)：110~115[5] [J].[6] 張立偉，[J].，24(1)：103~109[7] [D].北京：，1~19[8] [M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2006[9] [J].2000，22(4)：94~98[10] [J].，3(1)：74~111[11] 姚武川，[J].，28(4)：45~47[12] 常巍，謝光軍，[M].北京：[13] [M].哈爾濱：[14] Michael J. 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