【正文】 ， ，20???x21???x0xS?1???20x???21x所以由上下確界的定義 ，supSinf?? （2） ， ，下面依定義驗(yàn)證。???s1if 對(duì)任意的 ， ，所以 1 是 的下界。因?yàn)閷?duì)任意的 ，x???xS0?M令，則 ，故 無(wú)上界，所以 ；對(duì)任意的正數(shù) ，存在??1??Mnn?!S???sup?，使 ，所以 。Sx!1 ???1x1inf例 設(shè) 為單調(diào)數(shù)列。證明：若 存在聚點(diǎn)，則必是唯一的，且為??n ??nx??n的確界。證 設(shè) 為遞增數(shù)列，設(shè) 為 的聚點(diǎn)。下面證明nx?nx??nxsup??（1） 是 ， ，使 ，取 ，由???n ??nN??N????N0的遞增性， 內(nèi)只含有 中的有限項(xiàng) .這與 是 的n??0,??n 121,?x? nx 是 的上界。nx2） ，取 ，則 ，使得 。???a20a????nNx??0,???Na?所以 .由確界的唯一性，聚點(diǎn)是唯一的。??nsup?例 證明：在 上的連續(xù)函數(shù) 為一致連續(xù)的沖要條件是 ，??b,f ??0?f 都存在。??0?bf證 （必要性）設(shè) 在 上一致連續(xù)，則 fa, bax,0,/??????只要 ，就有 （6）???//x?????//fxf取 ，則 ，有（6），21????bax,1/ ??????0?af存在。同理 也存在。??bf21例 設(shè) 定義在 上。證明：若對(duì) 內(nèi)任一收斂數(shù)列 ，極限f??ba, ??ba, ??nx都存在，則 在 上一致連續(xù)。nx??limf,證 假設(shè) 在 上不一致連續(xù)，則 ，對(duì) ，總存在 ，f??, 0??????ba,/?盡管 ，但有 。???//x??//??xff令 ，與它相應(yīng)的兩點(diǎn)記為 ，盡管 ，但有n1???ban,/????//nx （7）0//?ff當(dāng) 取遍所有正整數(shù)時(shí)，得數(shù)列 ，由致密性定理，存在 的??xn,//???/n收斂子列 ，設(shè) 。??/knx0/limxkn???又 ，即??????????? kkkkkkk nnn 01////// 0/limxkn?由（7）式有 ，令 ，得 。??0// ??kknff ?//li ????kknkfxf這與 相矛盾. 所以 在 上一致連續(xù)。0??f??ba,例 設(shè)函數(shù) 定義在 上, ,極限 都存在。證明)(x????bax0??)(lim0xf?在 上有界。)(xf??ba,分析 函數(shù) 在每點(diǎn) 處由函數(shù)極限的局部有界性, ,在其中?)。(xU??有界,于是 成為 的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋。然后可用有限f ????baxUH)。(??,覆蓋定理得結(jié)論成立。讀者從本例中可以了解如何應(yīng)用有限覆蓋定理。另外,本例可應(yīng)用致密性定理,通過(guò)反證法來(lái)證明。證 因?yàn)?在 上每點(diǎn)存在極限,由函數(shù)極限的局部有界性, ,)(xf??ba ??bax0??與 ,使得 。所有這種鄰域的集合。(U??0?MxxMtfUt???)(,。(?成為 的一個(gè)開(kāi)覆蓋。??Hx)?,由有限覆蓋定理,存在 的有限開(kāi)覆蓋??ba。若取 ,則因 覆蓋了 ,對(duì) 中每一 ,它必屬于 中某一鄰域ixMnma1??H~??xH~, 于是 。??kU?。f(x)?Mxk?例 若函數(shù) 在 上無(wú)界,則必存在 上某點(diǎn),使得 在該點(diǎn)ba??ba)(xf的任22意領(lǐng)域內(nèi)無(wú)界。證 用反證法,若 ,存在 ,使得 在 中有界,則令??bax??0?x?)(xf)。xU?,????baH。(??它成為 的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋由有限覆蓋定理 ,存在??ba, HkixUi ??1)。(*?為 的有限開(kāi)覆蓋。由于 在每上 內(nèi)有界,因此 在 上, f)。(ix)(xf??ba,有界,這與 在 上的無(wú)界性相矛盾。)(xf??ba,例 設(shè) 在 上連續(xù),對(duì)任何 .試用有限覆蓋定理證明:??0)(,??fba一定存在 ,使得對(duì)任何 ,滿足 。0?cxf(x)?c證 ,因?yàn)?,由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性,于是??bax??0)(?f ,0??x?, ?，F(xiàn)令)。(39。,0xU????239。(f?，????baxUH,)。(???它是 的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋，由有限開(kāi)覆蓋定理，存在??ba, Hkiix??1)。(*為 的有限開(kāi)覆蓋,取 ,02min1?????????kfc, 某個(gè)（ ）,使 ,??bax???)。(ixU??于是 。xffi??)(例 設(shè)函數(shù) 對(duì)任何 內(nèi)的 ,存在 ,使得 在 內(nèi),bax0?xf),(x???遞增試證 在整個(gè) 內(nèi)亦遞增。f)(證 ,證明 由所設(shè)條件 ,a??2121, ??,).(2121aff???0??x使 在 內(nèi)遞增 ,故 是 后個(gè)無(wú)限開(kāi)覆f)(x?????。xUH??21蓋,由有限覆蓋定理,存在 為 的有限開(kāi)覆蓋,為kixi ??)。(*敘述方便起見(jiàn),不妨設(shè)由 就能覆蓋 , 且設(shè) 。,。21x??21a21x?若 ,則因 , 在 中遞增,故 ；)。(12xUa??)(1a??f)。(1x?)(aff?若 ,則 ,且因 ,故 ,使 。1?。22x ???)。(2xUV?V??*2*1a?于是又有。f(a1)?f(a*)?f(a2)23對(duì) 的有限情形可類似地證明。由此可見(jiàn), 在 上遞增。2?k )(xf,ba例 試用確界原理證明:若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),則 在 上有)(xf??f??ba,界。分析 設(shè) 在 上有界, 。因?yàn)橛?在點(diǎn) 的局部有界性,?fxS???a?ba,(?f可知 S 是非空數(shù)集,且以 為上界,由確界原理,存在 。關(guān)鍵在于證明bSsup,并證 ,以使 ,即 在 上有界。bsup??Sf??,證 設(shè) 在 上有界, 。fx??abax(由分析可知,S 為非空有上界數(shù)集,于是由確界原理,存在 。Ssup??現(xiàn)用反證法證明 。b??若 ,由連續(xù)函數(shù)的局部有界性， ,使 在 內(nèi)有界,b?? 0???)(xf),0???即 ,使 ,而這與 相矛盾 ,所以 。??1??ntaxSx?0Ssup??b??再證函數(shù) 在 上有界。因?yàn)?在點(diǎn) 處連續(xù),于是 , 在f??bfb0??f上有界。再由 ,可知 在 中有界,于是 在 上有?b,(?sup?]2(??a??a界。例 設(shè) 為定義在限區(qū)間 I 上的函數(shù),對(duì) I 內(nèi)任何柯西列 ,)(xf ??nx 是 I 上的一致連續(xù)函數(shù)。??nxf(證 用反證法 .若 在 I 上不一致連續(xù)函數(shù) ,于是 f ,39。0n???，但 。nInn139。39。,39。 ???0)39。()39。???nnx由致密性定理,對(duì)有界數(shù)列 因?yàn)??。,39。39。,39。 39。lim??????knxk, 于是 。)(39。39。xnk knx39。li這樣,數(shù)列 ?? ,39。39。,39。39。,39。21knnnxx也收斂于 ,因而是柯西列。但因?yàn)?,使得? 0)39。()39。(???kff ?? ),39。(39。39。,39。,39。),39。( 2211 knknnnnn xfffxf不是柯西列,這與假設(shè)相矛盾。注：如何應(yīng)用反證法證明結(jié)論是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn),掌握好24基本概念的否定說(shuō)法的正面陳述是其中的關(guān)鍵。因此不難證明本題中的條件不僅是充分的,而且是必要的,于是函數(shù)在有限區(qū)間上一致連續(xù)的充分條件是對(duì) I上任何 ， 也是柯西列。??nx)(nf25結(jié)論《實(shí)數(shù)完備性研究及應(yīng)用》這篇論文并不能稱得上是一篇具有創(chuàng)新性的論文，前人對(duì)于此項(xiàng)方面的研究已經(jīng)積累到了一定水平。而我所做的工作就是“站在巨人的肩膀上”。我雖然沒(méi)有進(jìn)行知識(shí)的創(chuàng)新，但是我對(duì)搜集到的資料記性了細(xì)致的分析和編排，完成了這篇論文。實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)基本定理是彼此等價(jià)的，因此對(duì)同一個(gè)有關(guān)問(wèn)題都是有效的，但是由于各個(gè)基本定理的內(nèi)容是不一樣的，因此所作出的證明也可以很不相同。即使同一個(gè)基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同還可以有不同的細(xì)節(jié)。復(fù)旦大學(xué)的蘇步青教授說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)的理論是美妙的，引人入勝；數(shù)學(xué)的方法是精巧的，豐富多彩；但學(xué)好數(shù)學(xué)卻必須付出艱辛的勞動(dòng)！”讓我們悉心于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究，盡情的享受數(shù)學(xué)之美吧！26致謝時(shí)光飛逝，四年豐富多彩的大學(xué)生活也已經(jīng)接近尾聲。這四年的大學(xué)學(xué)習(xí)生活走得并不那么輕松，但在我看來(lái)，這個(gè)過(guò)程就好比是一場(chǎng)遠(yuǎn)足旅行，即使過(guò)程辛苦疲憊，但心里也覺(jué)得心滿意足。從三月份到現(xiàn)在，從開(kāi)始零零碎碎對(duì)課題資料的搜集，了解到后來(lái)的認(rèn)真閱讀，這近三個(gè)月的時(shí)間我終于完成了這篇論文。畢業(yè)設(shè)計(jì)論文即將完成，在這個(gè)令人激動(dòng)的時(shí)刻，我要向那些幫助過(guò)我的人表達(dá)衷心的感謝。首先，要感謝的是馬曉玨馬老師，在完成論文的過(guò)程中，馬老師給予我無(wú)私的指導(dǎo)與幫助，并不厭其煩幫我找出自己對(duì)課題內(nèi)容理解的弱點(diǎn)和論文中存在的細(xì)節(jié)問(wèn)題，指導(dǎo)我一遍一遍修改文章?tīng)?zhēng)取做到更好。其次，要感謝我的舍友，當(dāng)因完成課題過(guò)程中遇到困難而心情低沉?xí)r、對(duì)自己產(chǎn)生懷疑時(shí)，她們給予我鼓勵(lì)。在老師、同學(xué)的幫助下，我才得以順利完成畢業(yè)設(shè)計(jì)，再一次感謝你們。最后，要感謝的是我的父母，在我的學(xué)習(xí)過(guò)程中他們不光默默地支持著我的決定，而且會(huì)在需要的時(shí)候給我恰當(dāng)?shù)慕ㄗh和鼓勵(lì)，這些即使是對(duì)現(xiàn)在的我來(lái)說(shuō)也是彌足珍貴的。 27參考文獻(xiàn)[1] 馮孔榮 . 用有限復(fù)蓋定理直接證明關(guān)于實(shí)數(shù)的其它幾個(gè)定理［J］. 恩施師專學(xué)報(bào)， 1982，(02).[2] [M].高等教育出版社，2022.[3] 劉永建,唐國(guó)吉 . 實(shí)數(shù)完備性定理的循環(huán)證明及其教學(xué)注記[J]. 時(shí)代教育(教育教學(xué)版), 2022, (01). [4] 錢吉林．?dāng)?shù)學(xué)分析題解精粹[M]．武漢：崇文書局，2022.[5] 孫書榮. 實(shí)數(shù)完備性基本定理的相互證明[J]. 濟(jì)南大學(xué)學(xué)報(bào)(綜合版), 1995, (04).[6] 孫書榮. 實(shí)數(shù)完備性基本定理的相互證明[J]. 濟(jì)南大學(xué)學(xué)報(bào)(綜合版), 1995, (04) [7] [M].科學(xué)教育出版社,2022(第二版). [8] [M].陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1984. [9] 張靜. 實(shí)數(shù)系的連續(xù)性和完備性的若干等價(jià)定理[J]. 北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2022,(02).[10] 莊陵,唐賢倫,王東,張金榮. 實(shí)數(shù)系完備性基本定理的循環(huán)證明[J]. 重慶 工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2022, (03)371