【正文】 單調(diào)遞增↗4 ∴y=f（x）在［3，1］上的最大值為13，最小值為 ，證明不等式.證明：，則，當(dāng)時。在內(nèi)是增函數(shù)，即，又，當(dāng)時，在內(nèi)是減函數(shù)，即，因此，當(dāng)時，不等式成立.點評：由題意構(gòu)造出兩個函數(shù)，.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或求最值，從而導(dǎo)出是解決本題的關(guān)鍵.七定積分求值1．定積分的概念 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點；③求和：；④取極限：：；在軸上方的面積取正，下方的面積取負(fù) 變速運動路程； 變力做功 4．定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 （其中k是不為0的常數(shù)） 性質(zhì)2 性質(zhì)3 （定積分對積分區(qū)間的可加性） 函數(shù)是上的一個原函數(shù)，即則導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)（一）關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（1）對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系 （2）端點處和頂點是最值所在（二）分析每種題型的本質(zhì)，你會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。（三）同學(xué)們在看例題時，請注意尋找關(guān)鍵的等價變形和回歸的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；此類問題提倡按以下三個步驟進(jìn)行解決：第一步：令得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題，常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值用分離變量時要特別注意是否需分類討論（0,=0,0）第二種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）（已知誰的范圍就把誰作為主元）；例1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實數(shù)m是常數(shù)，（1）若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；（2）若對滿足的任何一個實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，求的最大值.解:由函數(shù) 得 （1） 在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，則 在區(qū)間[0,3]上恒成立 解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價于 解法二：分離變量法：∵ 當(dāng)時, 恒成立, 當(dāng)時, 恒成立等價于的最大值（）恒成立，而（）是增函數(shù)，則(2)∵當(dāng)時在區(qū)間上都為“凸函數(shù)” 則等價于當(dāng)時 恒成立 變更主元法 再等價于在恒成立（視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題）22 例2：設(shè)函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （Ⅱ）若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍. （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子）解：（Ⅰ） 3aaa3a令得的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（－，a）和（3a，+） ∴當(dāng)x=a時，極小值= 當(dāng)x=3a時，極大值=b. （Ⅱ）由||≤a，得：對任意的恒成立①則等價于這個二次函數(shù) 的對稱軸 （放縮法）即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。上是增函數(shù). （9分）∴于是，對任意，不等式①恒成立，等價于 又∴點評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3；已知函數(shù)圖象上一點處的切線斜率為，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當(dāng)時，求的值域；（Ⅲ）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。解：（Ⅰ）∴， 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減又 ∴的值域是（Ⅲ）令思路1：要使恒成立，只需，即分離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎(chǔ)題型解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集； 做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例4：已知，函數(shù)．（Ⅰ）如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值；（Ⅱ）如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．解：. （Ⅰ）∵ 是偶函數(shù)，∴ . 此時， 令，解得：. 列表如下：(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,+∞)+0－0+遞增極大值遞減極小值遞增 可知：的極大值為， 的極小值為. （Ⅱ）∵函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，∴，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法則 解得：. 綜上，的取值范圍是. 例已知函數(shù) （I）求的單調(diào)區(qū)間； （II）若在[0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想（I） 當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號，單調(diào)遞增。 a11單調(diào)增區(qū)間： 單調(diào)增區(qū)間：（II）當(dāng) 則是上述增區(qū)間的子集：時，單調(diào)遞增 符合題意 綜上，a的取值范圍是[0，1]。 三、根的個數(shù)問題提型一 函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點======即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式（組）即可；例已知函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)．（1） 求實數(shù)的取值范圍；（2） 若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意 ∵在區(qū)間上為增函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立（分離變量法）即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為 （2）設(shè)，令得或由（1）知，①當(dāng)時，在R上遞增，顯然不合題意…②當(dāng)時，隨的變化情況如下表：—↗極大值↘極小值↗由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即 ∴，解得綜上，所求的取值范圍為根的個數(shù)知道，部分根可求或已知。例已知函數(shù)（1）若是的極值點且的圖像過原點，求的極值；（2）若，在（1）的條件下，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個不同交點？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2網(wǎng)解：（1）∵的圖像過原點，則 ，又∵是的極值點，則1 （2）設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個不同交點，等價于有含的三個根，即：整理得：即：恒有含的三個不等實根（計算難點來了：）有含的根，則必可分解為，故用添項配湊法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三個不等實根等價于有兩個不等于1的不等實根。題型二：切線的條數(shù)問題====以切點為未知數(shù)的方程的根的個數(shù)例已知函數(shù)在點處取得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．（1）由題意得：∴在上；在上；在上因此在處取得極小值∴①，②，③由①②③聯(lián)立得：，∴ （2）設(shè)切點Q，過令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所求實數(shù)的范圍為：題型三：已知在給定區(qū)間上的極值點個數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個數(shù)解法：根分布或判別式法例解：函數(shù)的定義域為（Ⅰ）當(dāng)m＝4時，f (x)＝ x3－x2＋10x，＝x2－7x＋10，令 ， 解得或.令 ， 解得可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和（5，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6, 1要使函數(shù)y＝f (x)在（1，＋∞）有兩個極值點,＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）根分布問題：則， 解得m＞3例已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且僅有3個極值點，求a的取值范圍．解：（1） 當(dāng)時，令解得，令解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.當(dāng)時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）有且僅有3個極值點=0有3個根，則或，方程有兩個非零實根，所以或而當(dāng)或時可證函數(shù)有且僅有3個極值點其它例題：（一）最值問題與主元變更法的例子.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（Ⅰ） 令=0,得 因為，所以可得下表：0+0↗極大↘ 因此必為最大值,∴因此， ， 即，∴，∴ （Ⅱ）∵，∴等價于， 令，則問題就是在上恒成立時，求實數(shù)的取值范圍，為此只需，即， 解得，所以所求實數(shù)的取值范圍是[0，1].（二）根分布與線性規(guī)劃例子例：已知函數(shù)(Ⅰ) 若函數(shù)在時有極值且在函數(shù)圖象上的點處的切線與直線平行, 求的解析式；(Ⅱ) 當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時, 設(shè)點所在平面區(qū)域為S, 經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程.解： (Ⅰ). 由, 函數(shù)在時有極值 ,∴ ∵ ∴ 又∵ 在處的切線與直線平行,∴ 故 ∴ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值,∴ 即 令, 則 ∴ ∴ 故點所在平面區(qū)域S為如圖△ABC, 易得, , , , , 同時DE為△ABC的中位線, ∴ 所求一條直線L的方程為: 另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設(shè)直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點F的橫坐標(biāo)為: 由 得點G的橫坐標(biāo)為: ∴ 即 解得: 或 (舍去) 故這時直線方程為: 綜上,所求直線方程為: 或 .…………….………….12分(Ⅱ) 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值,∴ 即 令, 則 ∴ ∴ 故點所在平面區(qū)域S為如圖△ABC, 易得, , , , , 同時DE為△ABC的中位線, ∴所求一條直線L的方程為: 另一種情況由于直線BO方程為: , 設(shè)直線BO與AC交于H , 由 得直線L與AC交點為: ∵ , , ∴ 所求直線方程為: 或 （三）根的個數(shù)問題例 已知函數(shù)的圖象如圖所示。 （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求函數(shù)f ( x )的解析式；（Ⅲ）若方程有三個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍。解：由題知：（Ⅰ）由圖可知 函數(shù)f ( x )的圖像過點( 0 , 3 )，且= 0 得 （Ⅱ）依題意 = – 3 且f ( 2 ) = 5 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 （Ⅲ）依題意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ① 若方程f ( x ) = 8a有三個不同的根，當(dāng)且僅當(dāng) 滿足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3 所以 當(dāng)＜a＜3時，方程f ( x ) = 8a有三個不同的根。………… 12分（四）根的個數(shù)問題例：已知函數(shù) （1）若函數(shù)在處取得極值，且，求的值及的單調(diào)區(qū)間； （2）若，討論曲線與的交點個數(shù)． 解：（1）………………………………………………………………………2分令得令得∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為…………5分（2）由題得即令……………………6分令得或……………………………………………7分當(dāng)即時－此時，，有一個交點；……………………