【正文】 ???? ?????1)( T O L?kf如果 則收斂，否則 go to 3 3 計算塑性參數(shù)的增量 )()()()0()(3)()3(kkYkkH?????????????4 更新塑性應變和內(nèi)變量 )()()()()0()0( ,?23,? kkkkpd e vd e v ??????? ???? nεσσn)()()1( kpkpkp εεε ????nσσσεεCσ ?232)(: )()()()()1(1)1( kkkkkpnk ? ??? ?????? ???)()()1()()()1(kkkkkk????????????????2togo,1?? kk9 應力更新算法 算法模量 在隱式方法中 ， 需要合適的切線模量 。 由于在屈服時突然轉(zhuǎn)化為塑性行為 ， 連續(xù)彈 —塑性切線模量可能引起偽加載和卸載 。 為了避免這點 ， 采用了一個基于本構(gòu)積分算法的系統(tǒng)線性化的 算法模量（ 也稱為 一致切線模量 ） ， 代替了連續(xù)彈 —塑性切線模量 。 下面給出 完全隱式向后 Euler方法的算法模量 的推導 。 向后 Euler更新算法切線模量定義為 1lg????????na ddεσC??????????????hYrCCrCCCqσσfffa:~:)~:():~(~lg11 )(~ ?? ?? σrCC ?? 1)( ???? qhIY ??對于 J2流動理論的情況，算法模量是與徑向返回應力更新一致的 9 應力更新算法 半隱式向后 Euler方法 半隱式向后 Euler方法 （ Moran, 1990） 是 對于塑性參數(shù)采用隱式 ，而 對于塑性流動方向和塑性模量采用顯式的算法 ， 即在步驟結(jié)束時計算塑性參數(shù)的增量 ， 而在步驟開始時計算塑性流動的方向和塑性模量 。 為了避免從屈服面漂移 ， 在步驟結(jié)束時強化屈服條件 。 積分方法為 0),()(:,11111111111?????????????????????nnnpnnnnnnnnnpnnpnnff qσεεCσhqqrεεεεε?????0),()(:1111111111111????????????????????????????nnnpnnnnnnnnnpnnpnnff qσεεCσhqqrεεεεε對比完全隱式向后 Euler方法 nYY 1)()( ????????9 應力更新算法 率相關(guān)塑性的圖形返回算法 對于 J2 塑性流動，過應力函數(shù)公式的典型例子為 (n為率敏感指數(shù) ) 對于 J2 流動理論，一個替代的粘塑性模型為 (m為率敏感指數(shù) ) m1Y0 )( ???????????????? ???參考應變率 在 過應力模型 中，等效塑性應變率取決于超過了多少屈服應力。 在率相關(guān)塑性中，材料的塑性反應取決于加載率，與不能超越過屈服條件的率無關(guān)塑性相比，為了發(fā)生塑性變形，率相關(guān)塑性必須滿足或者超過 屈服條件，塑性應變率（結(jié)合 各向同性和運動硬化） 給出 為 ( α背應力 ） ???? ??? ?? p ?? ?? ? ??? ??? ?? ??9 應力更新算法 率相關(guān)塑性的圖形返回算法 框 大應變率相關(guān)塑性 1 分解變形率張量為彈性和塑性部分的和 pe DDD ??2 應力率關(guān)系 )(:: pJeleJelJ DDCDCσ ??? ???3 塑性流動法則和演化方程 ),(p qσrD ?? ????? ),( qσ? ),( qσhq ?? ??4 應力率－總體變形率關(guān)系 rCDCσ :: JelJelJ ??? ????過應力函數(shù)，是塑 性應變的驅(qū)動力 粘性（力 時間） 9 應力更新算法 率相關(guān)塑性的圖形返回算法 率無關(guān)塑性的圖形返回本構(gòu)積分算法和算法切線模量可以修改為率相關(guān)的方法，對于一個完全隱式算法，更新可以寫成增量的形式 111111111111),(:,?????????????????????nnpnnnnnnnnnpnnpnnt ??????????εεCσhqqrεεεεε過應力函數(shù)和粘性 算法切線模量表達式 11lg:::~:)~:():~(~?? ????????????????????????nnatddhYrCCrCCεσCqσσ?????大變形的逐步客觀積分方法 9 應力更新算法 大變形本構(gòu)算法的一個重要問題是觀察的材料框架相同，準確地保持本構(gòu)關(guān)系的客觀性；在剛體轉(zhuǎn)動中，該算法必須準確地計算應力的恰當轉(zhuǎn)動。 JTnnnn t ???? ???? τQτQτ ?111 基于 Kirchhoff應力的 Jaumann率，考慮一個簡單的更新算法，變形率是對于時間增量的等效率并且定義如下，應力更新給出為 ? ?tn ??? WQ e xp1Q是與等效旋轉(zhuǎn) W關(guān)聯(lián)的增量轉(zhuǎn)動張量。以 Jaumann率的形式替換本構(gòu)反應 DCQτQτ :111 JTnnnn t ?????? ???應用不同算法計算等效變形率，基于增量變形梯度，采用直接向前方法 TnnTnnnTnn)()()(1001uIFuIFFFuFF???????????????????大變形的逐步地客觀積分方法 9 應力更新算法 第二個關(guān)系來自框 。 Kirchhoff應力幾乎是與 Cauchy應力等同的 ， 但是它被 Jacobian行列式放大 。 因此 ， 也稱它為權(quán)重Cauchy應力 。 對于等體積運動 ， 它等同于 Cauchy應力 。 在超彈性本構(gòu)關(guān)系中 ， 它會自然提高 ， 并且在次彈－塑性模型中是有用的 ， 因為它導致了對稱的切線模量 。 Kirchhoff應力定義為 στ J? TFSFτ ???大變形的逐步地客觀積分方法 9 應力更新算法 式中 vux tnn ?? ????? ,v是關(guān)于增量的等效速度。通過 Green應變增量的前推定義等效變形率 TnnTnnnTnn)()()(1001uIFuIFFFuFF???????????????????是位移增量 ? ?))((2121111111??????????????????nTnnTnnTnnTnt FFIFEFDFFFFE?????在剛體轉(zhuǎn)動中等效變形率 D消失，從而取得了增量客觀性。等效旋轉(zhuǎn)定義為 ? ?)()(21 011 10 uFFuW ??? ?????? ???? TnnTt對于次彈 —塑性材料公式，采取的形式為 (Q為指數(shù)形式，見第 9章 ) ? ? pJelJelTnnnpJelTnnnntttDCDCQτQDDCQτQτ::)(:11111?????????????????????速度梯度 ? ? ? ?jiijTTxvL????????? gr a d 或vvxvL速度梯度張量可以分解為對稱部分和偏對稱部分為 ? ? ? ? 2121 TT LLLLL ????? ? ????????????????ijjiijTxvxvD21 21 或LLD? ? ????????????????ijjiijTxvxv21 W 21 或LLW令 變形率 轉(zhuǎn)動 任何一個二階張量都可以表示為它的對稱部分和偏對稱部分的和 ? ? ijijjiijT WDvL ??????? , 或WDvL所以 回顧第 3章 ? ?)()(21 011 10 uFFuW ??? ?????? ???? TnnTt9 應力更新算法 10 連續(xù)介質(zhì)力學和本構(gòu)模型 后拉、前推和 Lie導數(shù) Euler張量 Lagrangian張量 兩點張量 Green應變張量 E PK2應力 線單元 dX 線單元 dx Cauchy應力 速度梯度 L＝ D＋ W Lagrangian矢量 dX和 Eulerian矢量 dx定義的二階張量 可以由后拉和前推運算給出 EL張量之間映射的統(tǒng)一描述。 例如， Lagrangian矢量 dX由 F前推到當前構(gòu)形給出 Eulerian矢量 dx XXFx ddd *????Eulerian矢量 dx由 1?F 后拉到參考構(gòu)形給出 dX xxFX ddd *1 ???? ? Lagrangian–Eulerian EulerianLagrangian 前推運算 后拉運算 通過在拓撲空間的分析，獲得大變形彈－塑性各種張量之間的關(guān)系和映射 10 連續(xù)介質(zhì)力學和本構(gòu)模型 后拉、前推和 Lie導數(shù) 二階張量的后拉和前推運算給出了在變形和未變形構(gòu)形情況下張量之間的關(guān)系 。 一些重要的二階張量的后拉和前推在框 。 這些定義取決于是否一個張量是動力學還是運動學的 ， 區(qū)別在于由這些張量所觀察到的勢的共軛性： 如功共軛的運動學和動力學張量被后拉或前推 ， 則勢必須保持不變 。 許多關(guān)系來自于框 ， 這些概念能使我們發(fā)展那些不容易顯示的關(guān)系 。 后拉和前推的概念為定義張量的時間導數(shù)提供了數(shù)學上的一致性－ Lie導數(shù) 。如框 ， Kirchhoff應力的 Lie導數(shù)是其應力的后拉的時間導數(shù)的前推 。 ?????? ?????????? ? )τF(F)τ(τ 1** DtDDtDL v ?? 不嚴格地說，在 Lie導數(shù)中，在固定的參考構(gòu)形中對時間求導，前推到當前構(gòu)形。在框 Lie導數(shù)。 以上計算是將應力后拉到參考構(gòu)型上，對時間求常導數(shù)，再前推回到當前構(gòu)型。否則是偏導數(shù) . ? ? ,Φ tXx ?TTTv DtDDtDDtDL FFτFFFSFττ ??????????????? ?? )()( 1** ??10 連續(xù)介質(zhì)力學和本構(gòu)模型 后拉、前推和 Lie導數(shù) 證明 Kirchhoff應力的對流率對應于它的 Lie導數(shù) TFSF ???? (框 ) 材料時間導數(shù)的計算 TTTTTTTTTTv DtDLFFFFτFFτFFτFFFFFFτFFτFFτFFττ????????????????????????????????????????????????)()()(1111111**????????111 ??? ???? FFFF ?? 1??? FFL ?TcvL LττLτττ ?????? ? ?應用 得到 Lie導數(shù)等價于在公式 ()中定義的 Truesdell應力的對流率 10 連續(xù)介質(zhì)力學和本構(gòu)模型 本構(gòu)關(guān)系的實質(zhì) 材料客觀性或者材料框架相同的原理表明材料響應是與觀察者無關(guān)的。原理的數(shù)學表述寫成為 )()( *** FF GG ?即 G*和 G為相同函數(shù) 。 此外 ， 材料客觀性的含義是 ， 為了確定Cauchy應力 ， 觀察者 O*對待 F*采用觀察者 O對待 F的相同方式 。Cauchy應力是客觀 （ Eulerian） 張量 ， 因此 Cauchy應力的分量在轉(zhuǎn)動坐標系中由觀察者 O*所見的與觀察者 O在不轉(zhuǎn)動坐標系中所見到的是相同的 ijjijTiijT ?? ???????????? eσeeQσQeQσQσ **** ,