【正文】 制運(yùn)算比定點(diǎn)制運(yùn)算的動(dòng)態(tài)范圍大，處理精度高，但實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜而且運(yùn)算速度較慢，因而常用于計(jì)算機(jī)上的軟件實(shí)現(xiàn)，進(jìn)行非實(shí)時(shí)處理。 ? 在實(shí)時(shí)處理中定點(diǎn)制運(yùn)算得到廣泛應(yīng)用 ， 因?yàn)樗\(yùn)算速度較快而且硬件實(shí)現(xiàn)較經(jīng)濟(jì) ， 但是由于定點(diǎn)運(yùn)算的動(dòng)態(tài)范圍和處理精度受限制較大 ， 因而有限字長效應(yīng)問題比較突出 。本章主要討論定點(diǎn)制算法的有限字長效應(yīng) 。 量化誤差 ? 數(shù)的定點(diǎn)表示：設(shè)寄存器長 L+1位，則除了一位符號位外，可表示的最小數(shù)為 q=2L， 這個(gè)值稱為量化間距。若要處理的數(shù)有 M+1位（含符號位），且 ML， 則這個(gè)數(shù)要存儲于寄存器中就必須被量化。有兩種量化方法：截尾和舍入。截尾就是將寄存器容納不下的低位數(shù)截?cái)?；舍入是在?shù)據(jù)的 L+1位上加 1，然后截?cái)酁?L位。 ? 當(dāng)數(shù) x 被 量 化 時(shí) ， 就 引 入 誤 差 e， 有： () ? 其中 Q[x]為 x的量化值 ， 即經(jīng)截尾或者舍入后的值 。 xxQe ?? ][? 由圖 ， 定點(diǎn)制截尾處理的量化誤差 et的范圍為： 補(bǔ)碼： qet≤ 0 原碼 、 反碼： 當(dāng) x0時(shí) ， qet ≤ 0 當(dāng) x0時(shí) ， 0≤ etq ? 由圖 er的范圍為： q/2er≤q/ 2 圖 定點(diǎn)制截尾處理的量化特性 圖 定點(diǎn)制舍入處理的量化特性 A/D變換的字長效應(yīng) ? 所謂 A/D變換即由模擬到數(shù)字的變換，一般可分為兩步，即抽樣與量化編碼。抽樣數(shù)據(jù)信號 x(n)=xa(nTs)的每個(gè)抽樣值的精度是無限的，經(jīng)過量化編碼之后，成為有限精度的數(shù)字信號。這里不考慮如何進(jìn)行編碼的問題，只討論其量化效應(yīng)問題。 量化效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析 ? A/D變換的結(jié)果一般都用定點(diǎn)制補(bǔ)碼來表示 。 量化方法無論采取截尾還是舍入 ， 其誤差都可以表示為： e=Q[x]x。因此 ， 量化后的抽樣值可以表示為： x(n)=Q[x(n)]=x(n)+e(n) （ ） （請將圖中 改為 x） x? 圖 A/D 變換的模型 ? 為了對此模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析 ， 要對量化誤差序列 e(n)作如下假設(shè)： 1) e(n)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)序列； 2) e(n)與信號 x(n)不相關(guān)； 3) e(n)本身樣值間不相關(guān) ， 即為白噪聲過程； 4) e(n)具有等概率密度分布（在一定的量化間距上）。 ? 也就是說 ， 我們將 e(n)作為量化噪聲 ， 它是白噪聲 ， 量化后的信號可以等效為無限精度信號與一噪聲相疊加 。 量化噪聲的均值和方差： ? 舍入時(shí)： 均值 ? 補(bǔ)碼截尾時(shí)： 均值 12 ,0 22 q m ee ?? ?方差12 ,2 22 q qm ee ??? ?方差 圖 量化噪聲的概率密度函數(shù) ? 而信號功率與噪聲功率之比即信噪比為： ? 用對數(shù)表示： () ? 因此 ， 寄存器長度每增加一位 （ L加上 1） ， 信噪比約提高6db。 222222212122 xLL xex ???? ????? ?2102210 l o o g10 xex LS N R ??? ????????????? 以上所假設(shè)的統(tǒng)計(jì)模型對于實(shí)際遇到的大多數(shù)信號都適合 ，但若輸入信號 xa(t)為規(guī)則信號 ， 如直流或周期性方波等等 ， 上述假設(shè)就不成立 。 線性時(shí)不變系統(tǒng)對量化噪聲的響應(yīng) ? 當(dāng)已量化的信號通過一 LTI系統(tǒng) H(z)時(shí) ， 由于實(shí)際的輸入信號如 ()式所示 ， 故輸出信號為： y(n)=y(n)+f(n) () ? 其中 y(n)是此線性系統(tǒng)對無限精度信號 x(n)的響應(yīng) ， f(n)是系統(tǒng)對量化噪聲 e(n)的響應(yīng) ， 故 f(n)為輸出噪聲 。 輸出噪聲的功率為： () ? ???Cef dzzHzHzj )()(21122???? 這個(gè)積分可以用留數(shù)定理來計(jì)算 ， 其中積分圍線 C是在 H(z)與 H(z1)的公共收斂域內(nèi)的一條圍繞原點(diǎn)的閉合曲線 。 如果 H(z)是穩(wěn)定系統(tǒng) ， 則可選單位園為圍線 C， 將 z=ejω 代入 ()式 ， 可以得到： () ???? ? ? deH jef ??0222 )( 乘積誤差的影響 ? 在數(shù)字網(wǎng)絡(luò)中 ， 典型的乘法運(yùn)算可以表示為： y(n)=a x(n) ? 這里 x(n)為數(shù)據(jù)值， a為乘法器系數(shù)。一般來說，每次相乘后要對乘積作舍入或截尾處理。本節(jié)討論在定點(diǎn)實(shí)現(xiàn)的相乘運(yùn)算中乘積的舍入量化誤差問題。 圖 相乘運(yùn)算的統(tǒng)計(jì)模型 ? 相乘后的實(shí)際結(jié)果為： y(n)=Q[y(n)]=y(n)+e(n)=ax(n)+e(n) () ? 由 ， 舍入誤差范圍為： () ? e(n)的統(tǒng)計(jì)特性可利用 ， 故其均值為 0， 方差為： () LL ne ?? ????? 221)(221)1(2222231212112 ??? ???? LLe q? IIR濾波器中乘積誤差的影響 ? 首先來分析一階 IIR濾波器： () ? 其中含有乘積項(xiàng) ay(n1)。 可以將與系數(shù) a相乘后乘積的舍入誤差所產(chǎn)生的影響等效為存在噪聲源 e(n)， 如圖 示。 1),()1()( ???? |a| nxnaynya x(n) 1?z)(? nye(n) （請將圖中 改為 y） y? 圖 一階 IIR 濾波器的統(tǒng)計(jì)模型 az1 e(n) f(n) 圖 量化噪聲通過一階 IIR 系統(tǒng) ? 濾波器實(shí)際的輸出為： y(n)=y(n)+f(n) () ? 根據(jù) ， 可以求出輸出噪聲 f(n)的方差 （ 功率 ） 為： () IdzzHzHzj eCef21122 )()(21 ???? ?? ? ??? 這里 σ e2 如式 () 所示 。 H(z)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ， 有： ? ()式中的 （ ） ? 可用留數(shù)定理計(jì)算，被積函數(shù)為： azzazzH ???? ? 111)(? ??? C dzzHzHzjI )()(2 1 11?)1)((1)()(11111azazazzazzzzHzHz?????? ?????? 選單位園為積分圍線 C， 故被積函數(shù)在 C內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn) ，即 z=a， 于是有： ? 代入 () 式可得： 2111111]),()([Reaazaz zHzHzsI az ?????? ???)1(322)1(22aLf ?????? 乘積項(xiàng)的有限字長效應(yīng)與 IIR濾波器的結(jié)構(gòu)的關(guān)系 1. 直接型 (正準(zhǔn)型 )結(jié)構(gòu) ? 例 已知一個(gè) LTI系統(tǒng)如下 ， 用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) ， 求乘積的舍人誤差所產(chǎn)生的輸出噪聲 。 () ? ?? ? )( )( 2111 zAzzzzzH ??????? ????? 解：信號流圖如圖 (a) 所示 ， 圖中實(shí)線表示 H(z)的直接型 （ 正準(zhǔn)型 ） 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) ， e0(n)、 e1(n)、 e2(n) 分別表示與系數(shù) 、 、 ， 它們都經(jīng)過相同的傳輸網(wǎng)絡(luò) H0(z)=1/A(z)， A(z)為 ()式中的分母多項(xiàng)式 ， 這個(gè)等效的噪聲網(wǎng)絡(luò) H0(z)如圖 (b) 所示 。因此輸出噪聲 f(n)的功率為： （ ） IdzzAzA zj eCef 22 3)()(2 13 112 ???? ?? ? ??? 被積函數(shù)為： () ? 圍線 C選單位圓 ， B(z)在 C內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)： z = , z = , 故 () ? 因此 σ f2=(q2/4) 90= （ ） ))()()(()()()( 11111zzzzzzAzAzzB?????? ?????90801 7 00 . 8 ] z R e s [ B ( z ) , 0 . 9 ] z R e s [ B ( z ) , I ???????2． 級聯(lián)型結(jié)構(gòu) ? 例 H(z)仍如 ()式所示 ， 但是用級聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) ，求輸出噪聲功率 。 ? 解：將 H(z)表示為： （ ） )(1)()(1)()(2111 zAzAzzzH ?????? ?? 圖 級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的相乘誤差 ? 圖 e0(n)、 e1(n)、 e2(n) 分別表示與系數(shù) 、 、。由圖可知， e0(n) 和 e1(n)通過網(wǎng)絡(luò) ，而 e2(n)只通過網(wǎng)絡(luò) 。故輸出噪聲功率為： )()(1)(211 zAzAzH ? )(1)(22 zAzH ? () ? 可以算得： I1 = 90 I2 = ? 因此 () IIdzzAzAzjdzzAzAzAzAzjeeCeCef2212122121211211222)()(21)()()()(212??????????? ???????2222 1219061 qqqf ??????2. 并聯(lián)型結(jié)構(gòu) ? 例 將 ()式的 H(z)用并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) ， 求輸出噪聲功率 。 ? 解：將 H(z)分解為部分分式之和： () ? 圖 e0(n)、 e1(n)、 e2(n)、 e3(n)分別為與系數(shù) 、 、 。 1111 ))(()(???? ???????? zzzzzH 圖 并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的相乘誤差 ? 由圖可知 ， e0(n) 和 e1(n) 只通過網(wǎng)絡(luò) ， e2(n) 和 e3(n) 只通過網(wǎng)絡(luò) ， 故輸出噪聲功率為： () 1?? z1?? z? ?? ? ? ?? ?2221121122611121212qqzzdzzzzjdzzzzjzzeCeCef???