【正文】 0?w0?????? yvxu0?????? yuxv考慮滿(mǎn)足以下條件的流體運(yùn)動(dòng) 無(wú)法形變 存在切形變 流體無(wú)旋轉(zhuǎn) O A B O A B A’ B’ ??r?r?O A B A’ B’ ??流體質(zhì)點(diǎn)線間夾角的相向改變率。 12 2112vuAAxy??????? ? ?????③ 形變張量 形變張量 ???????????333231232221131211AAAAAAAAAA 對(duì)稱(chēng)矩陣 習(xí)題 151已知流體二維速度場(chǎng)為 ， 分別計(jì)算渦度和散度 。 ????? ?? ?? 2222yxvyxu習(xí) 題 習(xí)題 152已知流體速度場(chǎng)分別為： 分別判斷上述流體運(yùn)動(dòng)是否有旋、是否有輻散和形變？ 0,2 ??? wvyu ?① 0, ???? wxvyu ??② 0, 2222 ?????? wyx xvyx yu③ 第六節(jié) 速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù) 速度勢(shì)函數(shù) 速度流函數(shù) 二維流動(dòng)的表示 一、速度勢(shì)函數(shù) ① 定義（速度勢(shì)函數(shù)的引入及存在條件） 流體運(yùn)動(dòng) 無(wú)旋流動(dòng) 渦旋流動(dòng) 0V? ? ?否則，則稱(chēng)之為 渦旋流動(dòng)： 0V? ? ?如果在流體域內(nèi)渦度為零，即 : 無(wú)旋流動(dòng) ； 據(jù)矢量分析知識(shí)，任意一函數(shù)的梯度，取旋度恒等于零： 0?? ? ? ?對(duì)于無(wú)旋流動(dòng)，必定存在一個(gè)函數(shù) 滿(mǎn)足如： ? ?tzyx ,?????V?無(wú)旋流動(dòng)，其速度矢可以用某函數(shù) 的梯度來(lái)表示，把函數(shù) 叫做 速度的（位）勢(shì)函數(shù) ，可以用這個(gè)函數(shù)來(lái)表示無(wú)旋流動(dòng)的流場(chǎng)。 通常將無(wú)旋流動(dòng)稱(chēng)為有勢(shì)流動(dòng)或勢(shì)流。 ? ?tzyx ,??② 引入勢(shì)函數(shù)的優(yōu)點(diǎn) 只要一個(gè)變量（勢(shì)函數(shù)）就可以來(lái)描述流體運(yùn)動(dòng)， 減少了描寫(xiě)流體運(yùn)動(dòng)所需的變量，簡(jiǎn)化了問(wèn)題。 由流速場(chǎng)與勢(shì)函數(shù)的關(guān)系可知： 流速矢與等位勢(shì)面相垂直，由高位勢(shì)流向低位勢(shì)，等位勢(shì)面緊密處，位勢(shì)梯度大，相應(yīng)的流速大；等位勢(shì)面稀疏處，位勢(shì)梯度小，相應(yīng)的流速大。 ????V?③ 用勢(shì)函數(shù)來(lái)描述流體運(yùn)動(dòng) 對(duì)于某一固定時(shí)刻 為一空間曲面，稱(chēng)為等勢(shì)函數(shù)面或者等位勢(shì)面。 ? ?, , ,x y z t C? ?例 161 已知流體作無(wú)旋運(yùn)動(dòng) ， 對(duì)應(yīng)的等勢(shì)函數(shù)線分布如 圖所示 （ 其中 ， ） 的 ， 請(qǐng)判斷并在圖 中標(biāo)出 A、 B兩處流體速度的方向 ， 并比較 A、 B 兩處流速的大小 。 0? 1? 2?④ 勢(shì)函數(shù)的求解 假如流體的散度為： 根據(jù)勢(shì)函數(shù)的定義有： 其中， 為三維拉普拉斯算子。 可以看出，如果給定 D，通過(guò)求解泊松（ Poisson）方程，即可求得勢(shì)函數(shù)。 zwyvxuD?????? ???D??? ?22222222zyx ?????? ????① 定義及存在條件 二、速度流函數(shù) 0V??0V??無(wú)輻散流 輻散流 流體運(yùn)動(dòng) 引入流體散度的概念之后，可將流體運(yùn)動(dòng)分為： ? ? ? ?0//,,0?????yvxutyxvvtyxuuw????考慮二維無(wú)輻散流動(dòng)，即滿(mǎn)足： 0??? u d yvd xvdyudx 或其流線方程為： xvyu ?????? ??? ,???? kV ?? 引入函數(shù) 流速與該函數(shù)滿(mǎn)足： 矢量形式： ? ?,x y t? （ 2）表征流體通量 在流體中任取一條有向曲線 A B，順著該有向曲線流體自右側(cè)向左側(cè)的通量 Q： ② 引入流函數(shù)的優(yōu)點(diǎn) ? ?? ?? ? ? ?? ?BB nAAQ V n d l V d l????（ 1）減少表征流動(dòng)的變量 A B 引用流函數(shù)，并考慮： 表明 :經(jīng)過(guò)以為端點(diǎn)的任何曲線的流體通量，決定于該兩點(diǎn)的流函數(shù)差，而與曲線的長(zhǎng)度和形狀無(wú)關(guān)。 用流函數(shù)可以來(lái)方便地表征無(wú)輻散場(chǎng)的流體通量。 ? ?? ?????????? ?? BA dxxdyyQ ?????? ? ? ? ?ABQ ?? ??( ) /dln k dy i dx j dldl? ? ? ? ?xvyu ?????? ??? ,同樣，求解流函數(shù)的方法為： （ 1）已知渦度，直接求解泊松（ Poisson）方程； （ 2）已知速度場(chǎng)，先求出渦度，然后求解泊松方程。 （ 3）表征流體渦度 由渦度的定義 ，可得到用流函數(shù)來(lái)表 示的渦度表達(dá)式： 可見(jiàn)，對(duì)流函數(shù)取拉普拉斯運(yùn)算即可得到流體的渦度。 ???????? ?? yuxv ??????? ??? ?? ?? 2222yx三、二維流動(dòng) 00vuxyuvDxy?????????? ??? ? ?? ??? ? ?????? ? ????????? VVV??? ?? 一般二維流動(dòng)，既不滿(mǎn)足無(wú)旋條件，也不滿(mǎn)足無(wú)輻散條件，流動(dòng)是有旋有輻散的。此時(shí)，其渦度和散度均不為零，即滿(mǎn)足： ① 無(wú)輻散渦旋流 ② 無(wú)旋輻散流 ① ② VkV????? ? ? ???? ? ???上式為大氣動(dòng)力學(xué)中廣泛采用的形式。 Vk ??? ? ? ? ?uyxvxy? ? ? ???? ? ? ???? ? ???習(xí)題 161 已知二維流速場(chǎng)為： 分別求勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)存在的條件。 ???????)()2(22 yxbvyxau???????dycxvbyaxu① ② 課 后 習(xí) 題 習(xí)題 162 請(qǐng)證明無(wú)輻散的平面無(wú)旋流動(dòng)：（ 1）流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)（滿(mǎn)足二維拉普拉斯方程 )（ 2）等勢(shì)函數(shù)線和等流函數(shù)線正交。 習(xí)題 163 平面流動(dòng)的流線方程為： ； 由流函數(shù)全微分 ； 當(dāng)取 常值時(shí) ， 也可以得到 試問(wèn)兩式是否等價(jià) ？ 請(qǐng)說(shuō)明理由 ？ vdyudx // ?u d yv d xd ???? vdyudx // ?本章總結(jié) 167。 1流體的物理性質(zhì)和宏觀模型 （ 概念 ） ① 流體的主要物理性質(zhì)：流動(dòng)性 、 粘性和壓縮性； ② 流點(diǎn)的概念和流體的宏觀模型 連續(xù)介質(zhì)假設(shè) 。 167。 2流體的速度和加速度 （ 理解 、 計(jì)算和應(yīng)用 ） ① 描寫(xiě)流體運(yùn)動(dòng)的兩種觀點(diǎn)： Lagrange觀點(diǎn)和 Euler觀點(diǎn) 及其差別以及兩種變量的相互轉(zhuǎn)換； ② 流體的加速度的定義 、 物理含義 、 計(jì)算； ③ 微商算符 的物理實(shí)質(zhì)及其應(yīng)用 。 ? ? ? ? ? ????? Vtdtd ???167。 3跡線和流線 （概念、理解、計(jì)算） ①跡線和流線的概念、跡線和流線的物理實(shí)質(zhì)； ②跡線和流線方程求解的方法； ③跡線、流線的差別以及跡線、流線重合的條件 167。 4速度分解 （理解） ①亥姆霍茲速度分解定理的主要內(nèi)容及其有關(guān)計(jì)算 167。 5渦度、散度和形變率 （概念、理解、計(jì)算） ①渦度、散度和形變率的定義，物理含義； ②渦度、散度和形變率的計(jì)算； ③形變張量的概念。 167。 6速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù) （概念、理解） ①速度勢(shì)函數(shù)的定義、存在條件、表示流體運(yùn)動(dòng)的方法； ②流函數(shù)的定義、存在條件、表示流體運(yùn)動(dòng)的方法； ③速度勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)表示二維流動(dòng)。