應(yīng)用泛函分析復(fù)習(xí)小結(jié)-資料下載頁
2025-04-16 22:04本頁面
【正文】 2)T= supTx= supTx= supTx()xx≤1x=1x∈Dx∈Dx∈D例 設(shè)算子T 的定義如下Tx(s) = ∫ab K (s,t)x(t)dt = y(s)其中 K (s,t) 在 a ≤ s, t ≤ b 上連續(xù)元函數(shù)，T 稱為以 K (s,t) 為核的弗萊德霍姆(Fledholm)算子。證明 T 是線性有界算子的。44167。 線性算子空間設(shè) X ,Y 為兩個線性賦范空間，可將 X 映到Y(jié) 的有界線性算子看成一個元素，把所有這些元素組成的集合記作 B ( X ,Y ) 。在這個空間中可適當(dāng)定義線性運算使之成為線性空間，再將算子的范數(shù)作為 B ( X ,Y ) 中元素的范數(shù)，B ( X ,Y ) 就將成為線性賦范空間。叫做線性算子空間。這樣，B ( X ,Y ) 中的元素（即 X 到Y(jié) 的有界線性算于)之間就有了聯(lián)系。用這種觀點來考慮與研究問題是很有意義的。后面的共軛空間，作為線性算子空間的特例，是所有有界線性泛函的集合。定理 若Y 是巴拿赫空間，則 B ( X ,Y ) 也為巴拿赫空間。設(shè)T ,Tn ∈ B ( X ,Y ) (n = 1,2,L) ，若對任意 x ∈ X ，Tn x ? Tx → 0 ，則稱{Tn }強收斂于T 或{Tn }按點收斂于T 。容易看出，{Tn }一致收斂于T 必強收斂于T ，反之則不然。45167。 有界線性泛函與共軛空間設(shè) X 為以 R (或 C )為數(shù)域的線性賦范空間，以 R (或 C )為值域的算子稱為 X 的泛函。若 f：X → R (或 C )是有界、線性的，稱 f 為有界線性泛函。這是一種極為重要而特殊的有界線性算子。與有界線性算子一樣 f = inf {M f (x) ≤ M x, ?x ∈ X }= sup f (x) = sup f (x)x =1x ≤1稱為泛函 f 的范數(shù)。對任意 x ∈ X ，f (x) ≤ f ? x由于 R (或 C )為巴拿赫空間，故 B ( X , R) 也為巴拿赫空間，簡記為 B ( X ) 。B ( X ) 是有界線性泛函所組成的空間，稱為 X 的共軛空間。關(guān)于這一空間?，F(xiàn)在先來討論一些重46要的線性賦范空間上有界線性泛函的表現(xiàn)形式。例 l p 空間（ p 1）的共軛空間。例 Lp [a,b]空間的共軛空間。第三節(jié) 內(nèi)積空間與希爾伯特空間 內(nèi)積空間、希爾伯特空間的定義定義 設(shè) H 為復(fù)數(shù)域 C 上的線性空間，若從 H H 到 C 中定義一個函數(shù) ?,? ，使對任意 x, y, z ∈ H ，滿足1） x, y = y, x ，其中 y, x 為 x, y 的共軛復(fù)數(shù)；2）對于任意復(fù)數(shù)α , β 有α x + β y, z = α x, z + β y, z473） x, x ≥ 0 ；當(dāng)且僅當(dāng) x = θ 時，有 x, x= 0 。則稱函數(shù) ?,? 為 H 的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的空間 H ，稱為內(nèi)積空間。在內(nèi)積空間中，定義范數(shù)?如下（）x =x, x而定義距離為ρ(x, y) = x ? y =x ? y, x ? y（）證明下面的許瓦爾茲不等式x , y≤x y（）定義 完備的內(nèi)積空間稱為希爾伯特空間。系數(shù)域為復(fù)數(shù)（或?qū)崝?shù)）的希爾伯特空間稱為復(fù)（或?qū)崳┫柌乜臻g。48性質(zhì) 設(shè) H 為希爾伯特空間， H 中的內(nèi)積 x, y 為 x, y 的連續(xù)函數(shù)，即若xn → x, yn → y ，則xn , yn → x, y√性質(zhì) H 中的內(nèi)積與范數(shù)有下列關(guān)系： 若 H 為實希爾伯特空間時，x, y =1( x + y 2? x ? y 2 )（）4若 H 為復(fù)希爾伯特空間時，x, y =1( x + y 2? x ? y 2 + i x + iy 2 ? i x ? iy 2（）4√性質(zhì) H 中的范數(shù)滿足下列的平行四邊形公式x + y2 +x ? y2 = 2x2 + 2y2（）49 正交分解與投影定理定義 內(nèi)積空間 H 中的兩個元素（向量） x, y 稱為正交的，是指 x, y 的內(nèi)積 等于零，即 x, y = 0 , 并用 x ⊥ y 表示。設(shè) M 是 H 中的一個子集，若 x 與 M 中的任意元素 y ∈ M 正交，則稱 x與 M 正交，記作 x ⊥ M 。設(shè) M,N 是 H 的兩個子集，若任意 x∈ M,y∈N，均有 x⊥y，則稱 M 與 N 正交，記做 M⊥N。設(shè)M為H的子集，H中所有與M正交的元素的全體稱為集合M的正交補，記做M⊥，即M ⊥ = {y | y ⊥ x, x ∈ M}50性質(zhì) 設(shè)H中兩個元素x1，x2正交，令x= x1+x2，則x2 =x2 +x212性質(zhì) 設(shè) L 為內(nèi)積空間 H 中的一個稠密子集，x⊥L, 則 x = θ 。性質(zhì) 對任意子集 M ? H ，其正交補M⊥必為H的閉線性子空間。定理 設(shè) M 為內(nèi)積空間 H 的線性子空間, x ∈ H ,如果 x0 是 x 在 M 上的投影，則x ? x0= infx ? y（）y∈M而且， x0 是 M 中使式（）成立的唯一的點。51
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