【正文】 0。圖24[說明] 這是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)與邏輯不符的例子，希望學(xué)生通過學(xué)習(xí)體會(huì)到：對(duì)于數(shù)學(xué)的結(jié)論，完全憑借直觀判斷是不行的，還需要通過演繹推理來驗(yàn)證。組織學(xué)生實(shí)際操作。一般來說，學(xué)生應(yīng)當(dāng)是不會(huì)相信圖24右圖中紙片的面積是65 cm2，但又無法說明自己觀察的結(jié)果是錯(cuò)誤的。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，如果觀察是錯(cuò)誤的，那么錯(cuò)誤可能出在哪里呢？學(xué)生通過邏輯思考，可以推斷只有一個(gè)可能：圖24右圖中紙片所示圖形不是長(zhǎng)方形，因此不能用長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式來計(jì)算面積。然后，可以引導(dǎo)學(xué)生實(shí)際測(cè)量圖形左上角或者右下角，發(fā)現(xiàn)確實(shí)不像是直角?？梢愿嬖V學(xué)生，這個(gè)想法是正確的，但最好能夠給出證明，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)由合情推理到演繹推理的過程?？梢圆捎萌缦路椒ㄗC明，在證明過程中加深對(duì)相似圖形的理解。如圖25，過D做AC的垂線交AC于F。用反證法來證明。假定圖24右圖中的圖形是長(zhǎng)方形，那么圖形的右下角就應(yīng)當(dāng)是直角，則在圖25中有∠1+∠3=90176。因?yàn)椤?+∠3=90176。，則∠1=∠2。由相似三角形的判定定理，兩個(gè)直角三角形△ABC與△DEF相似。由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，應(yīng)當(dāng)有： ，這是不可能的，因此圖24右圖中的圖形不可能是長(zhǎng)方形。但是， ，這個(gè)差是很小的，因此會(huì)造成我們視覺的誤差，把圖24右圖中的圖形看作是長(zhǎng)方形。圖25教學(xué)中可以鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用不同的方法對(duì)此問題進(jìn)行解釋和比較。例77 探索平均數(shù)的意義。假設(shè)我們得到了2個(gè)數(shù)據(jù)。令 為平均數(shù)，證明 是與 這2個(gè)數(shù)據(jù)差的平方和達(dá)到最小的實(shí)數(shù)，即對(duì)任意的實(shí)數(shù) 有≤ 。[說明] 這個(gè)例子給出了在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)使用平均數(shù)的理由：使誤差平方和達(dá)到最小。可以認(rèn)為實(shí)數(shù)與數(shù)據(jù)的差為誤差，因?yàn)檎`差有正有負(fù)，誤差的和會(huì)出現(xiàn)正負(fù)抵消，因此不能用誤差的和來刻畫總誤差，一個(gè)便利的方法是用誤差的平方和來刻畫總誤差。本問題希望證明的是：平均數(shù)是使總誤差達(dá)到最小的數(shù)。這是一個(gè)求最小值的問題，可以把統(tǒng)計(jì)問題與代數(shù)問題有機(jī)地結(jié)合在一起，用配方法求這個(gè)二次函數(shù)的最小值。但對(duì)于本問題可以用“加一項(xiàng)減一項(xiàng)”的方法：(xb)2+(yb)2 = (xa+ab)2+(ya+ab)2= (xa)2+(ya)2+2(ab)[(xa)+(ya)]+2(ab)2≥(xa)2+(ya)2上述不等式成立利用了中括號(hào)中的2個(gè)數(shù)之和為0，這正是平均數(shù)的功效。因?yàn)?是任意的，從而證明了結(jié)論。這個(gè)問題有很強(qiáng)的幾何直觀：我們可以將數(shù)據(jù)(x,y)看作平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P的坐標(biāo)。對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，坐標(biāo)為( , )的點(diǎn)B一定在直線（一次函數(shù)）y=x上。如果用(x )2+(y )2表示點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的平方，顯然，使這個(gè)距離的平方達(dá)到最小的A一定滿足PA^OA（如圖26所示），于是問題可以變?yōu)椋呵簏c(diǎn)P到直線y=x的垂足。設(shè)垂足坐標(biāo)為（ , ）,可以得到： 。 圖26可以把這個(gè)結(jié)果推廣到多個(gè)數(shù)據(jù)的情況。通過這個(gè)例子也可以知道：平均數(shù)是數(shù)據(jù)在直線（坐標(biāo)相等）上的投影，而方差是數(shù)據(jù)到直線距離的平方。例78 梯子問題。如圖27所示，在墻上斜靠著一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子，梯子頂端到地面的垂直距離為8米。如果梯子頂端下滑 米，則梯子的底端向外滑動(dòng) 米。 與 相等嗎？ 圖27[說明] 這是一個(gè)用代數(shù)方法解幾何問題的題目，即借助勾股定理建立一元二次方程，然后求解。最初可以讓學(xué)生借助勾股定理，代入具體數(shù)進(jìn)行計(jì)算。如果代入的數(shù)是2，可以得到a=b，那么這個(gè)結(jié)論是一般的嗎？從歸納的角度考慮，僅僅計(jì)算一次就推測(cè)出一般的結(jié)論是不夠的。再代入其他的數(shù)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)：一般來說，a =b的結(jié)論是不對(duì)的。然后可以引導(dǎo)學(xué)生建立如下的模型，由a計(jì)算b：（6+b）2 = 102(8a)2.例79 身高比較。比較自己班級(jí)與別的班級(jí)同學(xué)的身高狀況。[說明]對(duì)于兩個(gè)班級(jí)學(xué)生身高狀況比較，通?？梢酝ㄟ^平均值來判斷，但有時(shí)候僅僅通過平均數(shù)是不夠的，如果一個(gè)班同學(xué)之間身高差異很大，而另一個(gè)班同學(xué)之間身高差異很小，即使前一個(gè)班的平均高一些，也不能說這個(gè)班的整體狀況很好。因此，在判斷身高狀況時(shí)，不僅要看平均值，還需要參考方差。通過數(shù)據(jù)之間的比較，可以引導(dǎo)學(xué)生逐漸深入地進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，從而理解數(shù)據(jù)分析的道理。因?yàn)橛?jì)算量比較大，可以利用計(jì)算器或者計(jì)算機(jī)。如果學(xué)生基礎(chǔ)比較好，可以進(jìn)一步要求學(xué)生把身高分段，畫出頻數(shù)直方圖，并引導(dǎo)學(xué)生討論：通過直方圖是否能得到更多的信息？例80 從年歷中想到的。觀察幾個(gè)年份的年歷、月歷，思考下面幾個(gè)問題：（1）在一年的月歷中，哪些月份的“月歷表”是基本一致的？（2）有一種計(jì)算機(jī)病毒叫“黑色的星期五”，當(dāng)計(jì)算機(jī)的日期是13日又是星期五時(shí)，這種病毒就發(fā)作。請(qǐng)找出最近的5個(gè)使“黑色的星期五”發(fā)作的年、月、日。（3）許多人都認(rèn)為，“辦喜事”最好的日子應(yīng)該是“6月6日又是星期六”，可是有人說：“這樣的日子是千載難逢”，你同意這種說法嗎？你能找出幾個(gè)“6月6日又是星期六”的具體年、月、日嗎？（4）印刷廠需要印刷整張的年歷，不寫標(biāo)題的年號(hào)的整張的被稱為“年歷模版”。設(shè)想，只需要多少種不同的年歷模版，就能保證不管是哪一年，都能找到一個(gè)對(duì)應(yīng)的模版，添上年號(hào)后就可以印刷年歷了？（不考慮農(nóng)歷）。（5）我們用大寫字母表示一個(gè)3 3的數(shù)表，比如：A = ，稱這樣的數(shù)表為“3階方陣”，那么，在一個(gè)月歷表里可以得到幾個(gè)3階方陣？用T（A）表示A中9個(gè)數(shù)的和，并稱之為3階方陣的“特征數(shù)”。請(qǐng)?jiān)诮衲甑脑職v表里找出使得特征數(shù)最大的、最小的3階方陣。有人說：“由月歷表生成的3階方陣的特征數(shù)完全由A所包含的某一個(gè)數(shù)（如 或者 ）唯一確定”，你同意這種說法嗎？如果同意，請(qǐng)給出理由；如果不同意，請(qǐng)舉出反例。[說明] 這是一個(gè)通過對(duì)日常生活觀察、發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律的開放性問題，可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，提出不同層次的問題。每一個(gè)問題的設(shè)計(jì)，都是為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、思考和質(zhì)疑，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體會(huì)模型思想。問題（1）是讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)提問題。這個(gè)問題的入手點(diǎn)低，每個(gè)學(xué)生都能參與，都能有所發(fā)現(xiàn)。并且可以培養(yǎng)學(xué)生“分類討論”的意識(shí)，分平年和閏年：平年時(shí)，10月；11月；7月；12月的月歷表基本一致；閏年時(shí)，7月；8月；11月；12月的月歷表基本一致。引導(dǎo)學(xué)生在貌似雜亂無章中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律感悟周期現(xiàn)象。問題（2）中最近的幾個(gè)“黑色的星期五”是：2006年1月13日、2006年10月13日、2007年4月13日、2007年7月13日、2008年6月13日。解決問題的方式較多，可以利用對(duì)問題（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來思考。也可以充分利用信息工具，如從網(wǎng)上找一個(gè)“萬年歷”的小軟件用于觀察發(fā)現(xiàn)。問題（3）中最近的幾個(gè)“6月6日星期六”的日子有1992年、1998年、2009年、2015年、2020年，因此“千載難逢”的說法不對(duì)。更加理性的思考是：閏年的周期大體上是“4”，星期的周期是“7”，所以年歷的變化周期“大體上”不會(huì)超過4 7 =28。一旦找到了一個(gè)“6月6日星期六”的日子，如1992年，“大體上”可以猜測(cè)1992+28=2020（年）的6月6日也是星期六。也可以讓學(xué)生思考：為什么是“大體上”，例外發(fā)生的條件是什么？問題（4）討論印刷年歷模板的問題?？梢赃@樣思考：平年的1月1日可以是星期一、二、三、四、五、六、日中的某一個(gè)，有七種可能性；同理，閏年的1月1日也有七種可能性。綜合平年和閏年的情況（不考慮農(nóng)歷），至多需要14種年歷模版。問題（5）中，特征數(shù)最大、最小的3階方陣分別是：A = 和 B = ，對(duì)應(yīng)的特征數(shù)分別為：T（A）= 207和T（B）= 81?！坝稍職v表生成的3階方陣的特征數(shù)完全由A所包含的某一個(gè)數(shù)（如 或者 ）唯一確定”這個(gè)說法是正確的?？梢院?jiǎn)單證明如下：考慮數(shù) 的情況，由月歷表的構(gòu)成可以知道A = = 。則可以得到T（A）= 9a + 72，這是 的函數(shù)。用同樣的方法可以證明A中其他的數(shù)。由上面的證明，還可以啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)T（A）都是9的倍數(shù)。教學(xué)建議例81 “零指數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)（第三學(xué)段）。通過計(jì)算 提出問題：由同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，得到 ， 有什么意義呢？等于多少呢？我們需要做出解釋，數(shù)學(xué)面臨著挑戰(zhàn)。我們先回顧簡(jiǎn)單的事實(shí)： ，于是可以先提出猜想： =1，然后采用各種途徑引導(dǎo)學(xué)生感受規(guī)定“ =1”的合理性。例如：用細(xì)胞分裂作為情境，提出問題：一個(gè)細(xì)胞分裂1次變2個(gè)，分裂2次變4個(gè)，分裂3次變8個(gè)……那么，一個(gè)細(xì)胞沒有分裂時(shí)呢？；觀察數(shù)軸上表示2的正整數(shù)次冪16，等等點(diǎn)的位置變化，可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ O 1 2 4 8 16 圖28再觀察下列式子中指數(shù)、冪的變化，可以發(fā)現(xiàn)下面的規(guī)律 這樣，在學(xué)生感受“ =1”的合理性的基礎(chǔ)上，做出零指數(shù)冪意義的“規(guī)定”，即 。在規(guī)定的基礎(chǔ)上，再次驗(yàn)證這個(gè)規(guī)定與原有“冪的運(yùn)算性質(zhì)”是相容的、無矛盾的。例如，計(jì)算 ：因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)“零指數(shù)”時(shí)將經(jīng)歷如下的過程：面對(duì)挑戰(zhàn)——提出“規(guī)定”的猜想——通過各種途徑說明“規(guī)定”的合理性——做出“規(guī)定”——驗(yàn)證這種“規(guī)定”與原有知識(shí)體系無矛盾——指數(shù)概念得到擴(kuò)充。這樣的過程較充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)自身發(fā)展的軌跡，有助于學(xué)生感悟指數(shù)概念是如何擴(kuò)充的，他們借助學(xué)習(xí)“零指數(shù)”所獲得的經(jīng)驗(yàn)，可以進(jìn)一步嘗試對(duì)負(fù)整指數(shù)冪的意義做出合理的“規(guī)定”。這樣的過程較充分地展示了“規(guī)定”的合理性，有助于發(fā)展學(xué)生的理性精神。 例82 百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)（第二學(xué)段）。上課開始，教師與學(xué)生共同展示自己收集的生活中的“百分?jǐn)?shù)”例子，比如，在飲料的包裝盒上、在衣服的標(biāo)簽上、在報(bào)紙上、在玩具的說明書上，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了很多的百分?jǐn)?shù)。教師要引發(fā)學(xué)生對(duì)這些新認(rèn)識(shí)的數(shù)的興趣，并鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)于百分?jǐn)?shù)提出問題。比如：（1）人們?yōu)槭裁匆冒俜謹(jǐn)?shù)？（2）百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)有什么區(qū)別？ （3）百分?jǐn)?shù)是什么意思？（4）百分號(hào)是怎么寫的？（5）百分?jǐn)?shù)是干什么的？（6）分?jǐn)?shù)用得多還是百分?jǐn)?shù)用得多？在此基礎(chǔ)上，教師可以與學(xué)生一起把問題歸納為：（1）為什么要用百分?jǐn)?shù)？（2）在什么情況下用？（3）百分?jǐn)?shù)是什么意思？（4）與分?jǐn)?shù)有什么聯(lián)系？在對(duì)問題進(jìn)行歸納后，可以讓學(xué)生分小組嘗試回答這些問題，然后教師和學(xué)生共同提煉出本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的知識(shí)。在這些基礎(chǔ)上，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生考慮：還可以創(chuàng)造什么數(shù)？如果學(xué)生的思維活躍，可能會(huì)提到十分?jǐn)?shù)、千分?jǐn)?shù)，等等。這個(gè)過程，不僅促使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更加深刻，而且也鼓勵(lì)了學(xué)生思維的創(chuàng)新。例83 商不變的規(guī)律（第二學(xué)段）?？梢越M織如下的教學(xué)過程。教師先提出問題：嘗試編出一道除法運(yùn)算題，使得商是4，然后如何變化除數(shù)與被除數(shù)，使得商仍然是4？同學(xué)（或者討論小組）經(jīng)過思考后，可能會(huì)就具體的算式發(fā)表類似的意見：被除數(shù)乘某數(shù)，除數(shù)乘某數(shù)，商都是4。教師可以清理學(xué)生的思路：是不是被除數(shù)變大，除數(shù)也跟著變大，商就不變？經(jīng)過進(jìn)一步計(jì)算和思考，部分學(xué)生可能會(huì)得出一般的結(jié)論：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)時(shí)，商不變。最后，教師可以要求所有的學(xué)生驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。例84 探索數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律（第三學(xué)段）。教師可以先給出題目，求1+3+5+…+19=？教學(xué)的目的當(dāng)然不是希望學(xué)生通過加法運(yùn)算得到結(jié)果，而是希望學(xué)生通過求解的過程歸納出規(guī)律，最終預(yù)測(cè)出一般性的結(jié)果并驗(yàn)證。可以有各種途徑引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律，但在本質(zhì)上有兩條基本途徑：由簡(jiǎn)單到復(fù)雜；利用已知的公式。（1）由簡(jiǎn)單到復(fù)雜。從題目的最簡(jiǎn)單的情況開始計(jì)算，探索規(guī)律：1+3=41+3+5=91+3+5+7=161+3+5+7+9=25學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)上述計(jì)算結(jié)果均為平方數(shù)，甚至可能會(huì)發(fā)現(xiàn)均為算式中因子個(gè)數(shù)的平方，于是可以預(yù)測(cè)1+3+5+…+19=102=100這個(gè)時(shí)候，學(xué)生可能已經(jīng)知道了一般的計(jì)算公式，但是要讓全體學(xué)生都能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)把計(jì)算公式表達(dá)出來還是有一定困難的。這時(shí)，需要先引導(dǎo)學(xué)生考慮奇數(shù)的符號(hào)表達(dá)，考慮這個(gè)表達(dá)與題目中因子個(gè)數(shù)的關(guān)系，然后可以得到一般的結(jié)論：1+3+5+7+…+(2n 1)= n2最后用數(shù)學(xué)歸納法等驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。這種由最簡(jiǎn)單情況出發(fā)探索規(guī)律的方法似乎非常笨拙，但在數(shù)學(xué)探究中往往是最有效的方法。在教學(xué)過程中要讓學(xué)生關(guān)注：分析計(jì)算結(jié)果的數(shù)量關(guān)系、尋求規(guī)律，提出猜想，符號(hào)表達(dá)，驗(yàn)證規(guī)律。為了幫助學(xué)生思考，教師也提供一些工具，比如下面的點(diǎn)陣，啟發(fā)學(xué)生從數(shù)與形的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律： 圖29可以看到，圖29中的折線中得到的就是平方數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生用算式表達(dá)出來，然后得到一般的結(jié)論。（2）利用已知結(jié)果。如果學(xué)生已經(jīng)知道自然數(shù)前n項(xiàng)和的公式：1+2+3+…+ =則可以計(jì)算偶數(shù)的前n項(xiàng)和的公式：2+4+6+…+2 = 2（1+2+…+ ）=于是奇數(shù)的前n項(xiàng)和的公式為：…+ = +…+ ）（2+4+…+ ）= = 。第二種方法看起來比較簡(jiǎn)潔，但是從尋找規(guī)律的角度考慮，采用第一種方法更合適。第二種方法利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，培養(yǎng)學(xué)生推導(dǎo)公式的能力。因此，在教學(xué)過程，要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的不同采用不同的引導(dǎo)途徑。[1] 考試中，只能用下文出現(xiàn)的基本事實(shí)和定理作為證明的依據(jù)。[2] 不要求用（2）、（3）、（7）證明其他命題。[3] 不要求用（4）、（5）證明其他結(jié)論。66 / 6