20xx-20xx學(xué)年江蘇省無(wú)錫市天一中學(xué)高三11月月考數(shù)學(xué)試題解析版-資料下載頁(yè)
2025-04-04 02:45本頁(yè)面
【正文】 ,2)(x00)， 由3x0+210=7105，及x00得x0=4，∴Q(4,2) ∴直線AQ的方程為y=(x6)，即x+y6=0， 由y=3x,x+y6=0得x=3,y=9,即B(3,9)，∴AB=(36)2+92=92，即水上旅游線AB的長(zhǎng)為92km． （2）設(shè)試驗(yàn)產(chǎn)生的強(qiáng)水波圓P，生成t小時(shí)，游輪在線段AB上的點(diǎn)C處，則AC=182t，0≤t≤12，∴C(618t,18t)， 令h(t)=r2PC2，則∵P(4,8)，r=66t32，∴h(t)=(66t32)2[(218t)2+(18t8)2]=18(12t336t2+20t)68，0≤t≤12，∴h39。(t)=18(123t2362t+20)=72(9t218t+5)=72(3t1)(3t5)，0≤t≤12， 由h39。(t)=0得t=13或t=53（舍去）x(0,13)(13,12)h39。(t)+∴ [h(t)]max=h(13)=63(13)3[(26)2+(68)2]=120， ∴0≤t≤12時(shí)，h(t)0，即rPC恒成立，亦即強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行．【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力、數(shù)學(xué)建模能力和化歸思想以及直線方程、點(diǎn)到直線距離公式以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，這類問(wèn)題的特點(diǎn)是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.20．（1）y=6x6；（2）證明見解析；（3）0,1.【解析】【分析】（1）求出f39。x=4lnx+2x+4,求出f(1)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出f39。(1)的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；(2)要使得當(dāng)x≠1時(shí)，曲線y=fx恒在曲線y=gx的下方，即需證fxgxx≠1，不妨設(shè)Fx=fxgx， 則Fx=4x+2lnxx24x+5，利用導(dǎo)數(shù)證明Fx取得最大值F1=0即可得結(jié)果；(3)由題意可知k0,2x+10，可得不等式2k+1fx≤2x+1gx可轉(zhuǎn)化為22k+1lnx≤x2+4x5，構(gòu)造函數(shù)Hx=22k+1lnxx24x+5，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可證明Hx的最大值小于零，從而可得結(jié)論.【詳解】（1）f39。x=4lnx+2x+4，f39。1=6， 故切線方程是y=6x6. (2)要使得當(dāng)x≠1時(shí)，曲線y=fx恒在曲線y=gx的下方，即需證fxgxx≠1，不妨設(shè)Fx=fxgx， 則Fx=4x+2lnxx24x+5，∴F39。x=4lnx+4x+2x2x4=4lnx+2x2x，令Gx=F39。x，∴G39。x=4x2x22=2x12x2≤0恒成立，^∴F39。x在0,+∞單調(diào)遞減，v又∵F39。1=0,∴x∈0,1時(shí)，F(xiàn)39。x0；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，F(xiàn)39。x0，∴Fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，即當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)x取得最大值F1=0，∴當(dāng)x≠1時(shí)，F(xiàn)xF1=0，即fxgx，∴當(dāng)x≠1時(shí)，曲線y=fx恒在曲線y=gx的下方，(3)由題意可知k0,2x+10，∴不等式2k+1fx≤2x+1gx可轉(zhuǎn)化為22k+1lnx≤x2+4x5，構(gòu)造函數(shù)Hx=22k+1lnxx24x+5，∴H39。x=4k+2x2x4=2x24x+4k+2x，在二次函數(shù)y=2x24x+4k+2中，開口向下，對(duì)稱軸x=1，且過(guò)定點(diǎn)0,4k+2，解得2x24x+4k+2=0，得x1=12k+2(舍去），x2=1+2k+2.①當(dāng)x2k時(shí)，即k1 (舍去）或k1，此時(shí)當(dāng)x∈0,x2時(shí)，H39。x0； x∈x2,k時(shí),H39。x0；∴當(dāng)x=x2時(shí)，Hx取得最大值，記為H1x2=22k+1lnx2x224x2+5，由x2=1+2k+2得2k+1=x22+2x2，∴H1x2=2x22+2x2lnx2x22+4x2+5≤0，而H39。1x2=4x2+4lnx2+2x22+2x2x22x24=4x2+4lnx2，∴當(dāng)x2∈0,1時(shí)，H39。1x20，即H1x2在0,1上遞減，當(dāng)x2∈1,+∞時(shí)，H39。1x20，即H1x2在1,+∞上遞增，∴H1x2在x2=1處取得最小值H11=0，∴只有x2=1符合條件，此時(shí)解得k=1 ，不合條件，舍去。②當(dāng)x2=k時(shí)，解得k=1，當(dāng)x∈0,1時(shí)，H39。x0,∴Hx在x∈0,1時(shí)取得最大值H1=0，即當(dāng)x∈0,1時(shí)，Hx≤0恒成立，原不等式恒成立；③當(dāng)x2k時(shí)，解得0k1，當(dāng)x∈0,k時(shí)，H39。x0，∴Hx在x∈0,k時(shí)取得最大值，記為H2k=22k+1lnkk24k+5，由（2)可知H2k的圖象與Fx的圖象相同，∴當(dāng)0k1時(shí)，H2kH21=0，原不等式恒成立；綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0,1.【點(diǎn)睛】本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于較難題，近來(lái)高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的考查力度，不僅題型在變化，而且問(wèn)題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問(wèn)題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.
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