第2章近獨立粒子的經(jīng)典統(tǒng)計習題解答-資料下載頁
2025-03-26 03:08本頁面
【正文】 該體系應滿足 （粒子數(shù)不變） ⑵ （總能量不變） ⑶ （z方向動量守恒） ⑷所求的最概然分布是在滿足限制條件⑵、⑶、⑷式下，使取極大的分布。按照拉格朗日待定乘子法，引入待定因子，構(gòu)造函數(shù)最可幾分布時，得 ⑸將⑵代入⑴得到，最可幾分布時，粒子動量在…的分子數(shù)為 ⑹將自由粒子的能量代入得 ⑺式中的可由⑵、⑶、⑷確定。將⑺代入中積分求得令展開，相比較可得， ⑻將⑻代入⑺，得到： 證畢表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維運動，可以看作二維理想氣體，試寫出二維理想氣體中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率，最概然速率和方均根速率。解： 對二維理想氣體，粒子自由度 ，分子能量為 。在平衡態(tài)，按照玻爾茲曼分布律，在N個分子中，位置在 而動量在，內(nèi)的分子數(shù)為 （1）其中粒子配分函數(shù) （2）將（2）代入（1）并對積分，并將代入，得到速度分量在的分子數(shù)為 （3）利用二維速度空間極坐標與直角坐標的關(guān)系：，將公式⑶換為平面極坐標，對積分，得到速率介于的分子數(shù) （4）（3）、（4）即為二維理想氣體分子的速度分布和速率分布。由（4）求得速率分布函數(shù) ⑸平均速率 ⑹速率平方平均值及方均根速率分別為 ， ⑺由一階導數(shù)為零，即 ，求得 。試根據(jù)麥氏速度分布律導出兩分子的相對速度vr=v2—v1和相對速率的概率分布，并求相對速率的平均值。解：按照麥克斯韋速度分布律，一個分子具有速度為v到v+dv的概率為 （1）這里，所以分子1的速度在，而同時分子2的速度在的概率為 ⑵對分子2，引入質(zhì)心運動速度和相對速度： ， ⑶利用，由上式解出 ， ⑷兩分子的動能 ⑸這里，是兩分子相對運動的約化質(zhì)量。利用，是由變換到的雅可比行列式，其值。將⑸和dv1dv2=dvcdvr代入⑵得到 ⑹其中兩分子的相對速度為的概率分布為 ⑺利用相對速率與相對速度之關(guān)系，由⑺求得兩分子相對速率為的概率分布為： 相對速率平均值 其中是氣體中一個分子的平均速率。1根據(jù)麥克斯韋速度分布律證明，速率和平動能量的漲落為，證明：麥克斯韋速率分布函數(shù)為 ⑴求得 ⑵速率漲落 能量漲落的計算可采用兩種方法：方法一 由⑴式出發(fā)方法二 先求按能量的分布函數(shù)，由出發(fā)。分子能量在范圍的概率與分子速率在到范圍的概率相對應，即=，將代入⑴，求得 ⑶求得 在上述各式的計算中，都要用到函數(shù)的知識（參見汪志誠書的附錄c的⒉3）1證明單位時間內(nèi)碰到單位面積器壁上，速率介于到之間的分子數(shù)為證明：如圖，在時間內(nèi)，速度在到范圍，能達到面積為dA為底。分子速率為v為軸，高為的柱體內(nèi)分子數(shù)，設(shè)單位體積分子數(shù)為，則 ⑴其中分子速度在到范圍的幾率 ⑵將⑵代入⑴，并對積分，由0到，由0到，積分后求得單位時間碰在單位面積器壁上，速率介于到范圍的分子數(shù) 總分子數(shù) 。1分子從器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率，方均根速率和平均能量。解：由⒎13題已求出單位時間碰在單位面積器壁上，速率在到的分子數(shù)，由此求得分子從器壁小孔射出時分子按速率的概率分布為 ⑴由此求得射出的分子束中，分子平均速率、方均速率、方均根速率，平均動能分別為： ⑵ 以上計算中，均要用到函數(shù)的知識（請參閱書，附錄C）將所得的結(jié)果與容器內(nèi)部分子運動的相應值：、相比較看出：小孔射出的分子束中的值要比其內(nèi)部運動的相應值要大。原因在于：幾率分布不同，在容器內(nèi)部，因分子碰撞的隨機性，平衡態(tài)下，分子運動各向同性，每一分子受到周圍分子碰撞作用，總效果是合力為零。在小孔處，在小孔方向未受分子作用，受的合力不為零。其合力指向小孔方向并對分子作功。分子能量為熱運動能與合力作功之和。從而分子束中的均大于容器內(nèi)部的相應
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