【正文】 增益陣 ，也可以采用與極點配置類似的方法。 構(gòu)造變換矩陣，使系統(tǒng)變成能觀標(biāo)準(zhǔn)型，再根據(jù)特征方程求出 eK方法一 eK可以利用愛克曼（ Ackermann）公式求出 ，即 方法二 eK? ?Te OAK 1000)( 1 ??? ?為能觀性矩陣 為期望特征多項式 )(??其中 O利用對偶原理，可以使設(shè)計過程大為簡化 考慮系統(tǒng)， 可以求解其對偶問題，即首先構(gòu)造其對偶系統(tǒng) ??????CxyBuAxx??TT CzAz ???zBw T?其中 分別為 A、 B、 C的共軛轉(zhuǎn)置矩陣 設(shè)控制變量 ，若對偶系統(tǒng)是狀態(tài)能控的，則可以確定狀態(tài)反饋增益陣 K，使得 得到一組期望的特征值 TTT CBA 。kz???? ?KCA TT ?設(shè) 為對偶系統(tǒng)期望的特征值，則期望特征多項式為 nii ,2,1, ???? ?? ? ? ?nTT sssKCAsI ??? ?????? ?21)(注意到 與 的特征值相同，可得 KCA TT ? CKA T?)()( CKAsIKCAsI TTT ?????將觀測器系統(tǒng)的特征多項式 與上式相比較，可以找出 與 的關(guān)系，即 )( CKAsI e??Te KK ?TKeK因此，在對偶系統(tǒng)中采用極點配置的方法確定反饋增益陣 K，則原系統(tǒng)的觀測器增益陣 可以通過 確定 eKTe KK ?求解途徑： 1）采用前述的兩種方法 2）直接調(diào)用 acker（）和 place（） 函數(shù)求得 例 717 給定受控對象 ??????CxyBuAxx?其中 ??????????????6116100010A???????????100B? ?001?C試設(shè)計全階狀態(tài)觀測器，使觀測器的閉環(huán)極點為 5,322 ??? j為求出狀態(tài)觀測器的反饋增益陣 ，首先為原系統(tǒng)構(gòu)造一個對偶系統(tǒng) 理論分析 eK?TT CzAz ???zBw T?然后對其進(jìn)行閉環(huán)極點配置，得到反饋增益陣 K，根據(jù)對偶原理可求得狀態(tài)觀測器的反饋增益陣 Te KK ?MATLAB 程序如下： a=[0 1 0。0 0 1。6 11 6] b=[0。0。1] c=[1 0 0] ro=rank(obsv(a,c)) a1=a39。 b1=c39。 c1=b39。 p=[2+2i*sqrt(3),22i*sqrt(3),5] k=acker(a1,b1,p) ke=k39。 %判定系統(tǒng)是否可觀 運行程序，得到結(jié)果： 說明 由于原系統(tǒng)可觀（即 rank=3）， 因此可以設(shè)計全階狀態(tài)觀測器。 狀態(tài)觀測器的增益陣 ， Te KK ? ? ?TeK 173 ??ke = 最小階狀態(tài)觀測器 全階狀態(tài)觀測器設(shè)計是基于重構(gòu)所有的狀態(tài)變量。實際上，系統(tǒng)的輸出變量總是可以測量的，因此可以利用輸出向量 Y來直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測器的階數(shù)。當(dāng)觀測器的階數(shù)降至最小時，稱為 最小階狀態(tài)觀測器 設(shè)狀態(tài)向量 x為 n維，輸出向量 y為可測量的 m維。由于 m個輸出變量是狀態(tài)變量的線性組合，因此 m個狀態(tài)變量就不必估計了，只需估計 nm個狀態(tài)變量即可。 該 nm階的降階觀測器就是最小階狀態(tài)觀測器。 下圖所示為最小階狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 AB s/1 Cu K? x yx~ x?變 換最 小 階 觀 測 器設(shè)給定受控系統(tǒng)為 ??????CxyBuAxx?其中，狀態(tài)向量 x可以按可測量與不可測量劃分為 和 兩部分， 表示可測量部分，它等于輸出 y； 是不可測量部分。 相應(yīng)的系統(tǒng)方程可以寫成塊矩陣的形式，即 uBBxxAA AAxxbababbbaabaaba????????????????????????????????????? ? ?????????baxxy 01ax bx axbx根據(jù)上式可以進(jìn)一步將狀態(tài)可測部分的方程單獨寫出 uBxAxAx ababaaaa ????或?qū)憺? babaaaaa xAuBxAx ????該方程左側(cè)各項是可以測量的，可以看作是輸出方程。 狀態(tài)的不可測量部分的方程為 uBxAxAuBxAxAx bababbbbbb a babab ???????這是新的狀態(tài)方程， 為不可測的狀態(tài)變量。 bx最小階觀測器的設(shè)計如果采用全階狀態(tài)觀測器的設(shè)計方法，設(shè)計步驟可以得到簡化。 為此我們將全階和最小階狀態(tài)觀測器進(jìn)行對比，可以得到兩者的對應(yīng)關(guān)系。 見表 73 x~ bx~uBxAx aaaaa ???全階 最小階 A Abb Bu Abaxa+Bbu y C Aab Ke(n 1) Ke{(nm) 1)] 表 73 全階與最小階狀態(tài)觀測器對比 最小階狀態(tài)觀測器的設(shè)計思路 首先按照全階觀測器的狀態(tài)方程，按表 73中的對比關(guān)系做替換代入，經(jīng)推導(dǎo)可得最小階狀態(tài)觀測器的方程為 ? ? ? ?? ? ? ?uBKByAKAKAKAAKA aebaaebaeabebbabebb ???????? ?? ~~?式中 aebeb xKxyKx ?????aebeb xKxyKx ???? ~~~?根據(jù)上面幾式一起確定最小階狀態(tài)觀測器 的設(shè)計 可以根據(jù)表 73對比關(guān)系，按全階狀態(tài)觀測器進(jìn)行， 為 nm維向量。 eKeK首先 構(gòu)造等效系統(tǒng)為 pCqBpApccc??? ??然后， 我們就可以利用 MATLAB的 acker函數(shù)或place函數(shù)進(jìn)行設(shè)計了。 其中 bbc AA ? uBxABbabac ??? abe AC ?bxp ? uBxAxq aaaaa ??? ?例 718 給定受控對象 ??????CxyBuAxx?其中 ??????????????6116100010A???????????100B? ?001?C設(shè)輸出 y（即 ）可測，試設(shè)計最小階狀態(tài)觀測器，使觀測器的閉環(huán)極點為 5,322 ??? j1x理論分析 由于原系統(tǒng) （即輸出 y）可測，故只需設(shè)計 1x的狀態(tài)觀測器。將原方程分為兩部分 32。xx可測部分 不可測部分 uBxAxAx ababaaaa ????uBxAxAx bbbababab ????其中 構(gòu)造等效系統(tǒng)為 pCqBpApccc??? ??其中 bbc AA ? uBxABbabac ??? abe AC ?0?aaA ? ?01?abA ?????????? 60baA??????????? 61110bbA 0?aB ?????????10bB1xMATLAB 程序如下 (采用矩陣變換法 )： a=[0 1 0。0 0 1。6 11 6] b=[0。0。1] aaa=[0]。aab=[1 0]。aba=[0。6] abb=[0 1。11 6]。ba=[0]。bb=[0。1] p=poly(abb) a1=p(2)。a2=p(3) n=[aab39。,abb39。*aab39。] w=[a1 1。1 0] j=[2+2i*sqrt(3) 0。0 22i*sqrt(3)] jj=poly(j) aa1=jj(2)。aa2=jj(3) ke=inv(w*n39。)*[aa2a2。aa1a1] 運行程序， 得到結(jié)果： ke = MATLAB 程序如下 (采用愛克曼公式法 )： ke = 2 17 運行程序， 得到結(jié)果： a=[0 1 0。0 0 1。6 11 6] b=[0。0。1] aaa=[0]。aab=[1 0]。aba=[0。6] abb=[0 1。11 6]。ba=[0]。bb=[0。1] n=[aab39。,abb39。*aab39。] j=[2+2i*sqrt(3) 0。0 22i*sqrt(3)] phi=polyvalm(poly(j),abb) ke=phi*inv(n39。)*[0。1] MATLAB 程序如下 (采用 acker()函數(shù) )： 運行程序， 得到結(jié)果： ke = 2 17 a=[0 1 0。0 0 1。6 11 6] b=[0。0。1] aaa=[0]。aab=[1 0]。aba=[0。6] abb=[0 1。11 6]。ba=[0]。bb=[0。1] a1=abb。c1=aab ax=a139。bx=c139。 p=[2+2i*sqrt(3),22i*sqrt(3)] k=acker(ax,bx,p) ke=k39。 顯然，此種方法最簡便 根據(jù)最小觀測器的方程 ? ? ? ?? ? ? ?uBKByAKAKAKAAKA aebaaebaeabebbabebb ???????? ?? ~~?其中 1~~~ xKxyKx ebeb ?????注意到 ? ???????????????????? ?????????????? 628120117261110abebb AKAuOyO?????? ?????????????????????????? ??????????????????? ??????????????????? ???????????????????? ???????????17210172601726282~~62812~~3232??????有最小觀測器方程為 即 uy ??????????????????????????????????????????????105213~~62812~~3232??????其中 yKxx e??????????????????3232 ~~~~????或?qū)憺? yKxxe??????????????????3232~~~~????若系統(tǒng)采用觀測 狀態(tài)反饋，則控制信號為 ??????????????321~~~xxxkxKu ?其中， K為狀態(tài)反饋增益陣（注意不是本例確定的 ） eKAB s/1?????????? 62812s/1CuK?x y????????10????????? 60???????? ?172??????????100100???????????1721x~變 換最 小 階 觀 測 器基于最小階觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 線性二次型最優(yōu)控制 在線性系統(tǒng)最優(yōu)控制中，有一類最優(yōu)控制系統(tǒng)其性能指標(biāo)泛函是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分，此類最優(yōu)控制問題稱為線性二次型最優(yōu)控制問題，簡稱 線性二次型（ LQ） 。 LQ問題解出的控制規(guī)律是狀態(tài)變量的線性函數(shù)，可以通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制 ，因而在工程上得到廣泛的應(yīng)用。 設(shè)線性時不變（ LTI）系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 線性二次型最優(yōu)控制策略 )()()()()()(tDutCxtytButA