【正文】 圖象的最高點(diǎn)，B 、 C 為圖象與 x 軸的交點(diǎn)，且 ABC? 為正三角形。 （ Ⅰ ）求 ? 的值及函數(shù) ()fx的值域 ； （ Ⅱ ）若0 83() 5fx?，且0 10 2( , )33x ??，求 0( 1)fx? 的值。 18．本小題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。 解：（ I）由已知可得， 又正三角形 的高為 ，從而 所以函數(shù) 的周期 ，即 高一數(shù)學(xué)（必修 1， 4， 5， 2）講義 劉老師數(shù)學(xué)課堂 21 函數(shù) 的值域?yàn)?…………………………… ………………… ..6分 （ II）因?yàn)?，由（ I）有 ，即 由 ，知 所以 故 …………………………………………………………………………………… 12 分 三 數(shù)列 【典型例題】 數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類問(wèn)題能有效地考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式知識(shí)解決問(wèn)題的能力．本文介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問(wèn)題，解決這類問(wèn)題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和． 一．先求和后放縮 例 1．正數(shù)數(shù) 列 ??na 的前 n 項(xiàng)的和 nS ，滿足 12 ?? nn aS ，試求： （ 1）數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè)11?? nnn aab，數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)的和為 nB ，求證： 21?nB 解：（ 1）由已知得 2)1(4 ?? nn aS ， 2?n 時(shí)， 211 )1(4 ?? ?? nn aS ，作差得： 12 12 224 ?? ???? nnnnn aaaaa ，高一數(shù)學(xué)（必修 1， 4， 5， 2）講義 劉老師數(shù)學(xué)課堂 22 所以 0)2)(( 11 ???? ?? nnnn aaaa ，又因?yàn)???na 為正數(shù)數(shù)列，所以 21 ?? ?nn aa ，即 ??na 是公差為 2 的等差數(shù)列，由 12 11 ?? aS ，得 11?a ，所以 12 ?? nan （ 2） )12 112 1(21)12)(12( 11 1 ???????? ? nnnnaab nnn，所以 21)12(2 121)12 112 15131311(21 ??????????? nnnB n ? 二．先放縮再求和 1．放縮后成等差數(shù)列，再求和 例 2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ,且 2 2n n na a S?? . (1) 求證： 2214nnn aaS ???； (2) 求證： 112 122nSSS S S ? ?? ? ? ???? ? 解：（ 1）在條件中，令 1?n ，得 11121 22 aSaa ??? ， 10 11 ??? aa? ，又由條件 nnn Saa 22 ?? 有112 1 2 ??? ?? nnn Saa ，上述兩式相減，注意到 nnn SSa ?? ?? 11 得 0)1)(( 11 ???? ?? nnnn aaaa 00 1 ???? ? nnn aaa? ∴ 1 1nnaa? ?? 所以， nna n ????? )1(11 ， ( 1)2n nnS ?? 所以 42 )1(212 )1( 21222 ????????? nnn aannnnS （ 2）因?yàn)?1)1( ???? nnnn ，所以212 )1(2 ???? nnnn，所以 2 )1(2 322 2121 ????????? nnSSS n ?? 212322 ????? n?2 122 3 12 ???? ?nSnn 222 )1(2222121 nn SnnnSSS ????????? ?? 2．放縮后成等比數(shù)列，再求和 例 3 （ 2022廣東） 設(shè)數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，滿足 112 2 1nnnSa ??? ? ?， *n?N ，且 1a ， 2 5a? ， 3a高一數(shù)學(xué)（必修 1， 4， 5， 2）講義 劉老師數(shù)學(xué)課堂 23 成等差數(shù)列。 （ 1）求 1a 的值； （ 2）求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式； （ 3）證明：對(duì)一切正整數(shù) n ，有121 1 1 32na a a? ? ???? ?。 （ 1）∵ 112 2 1 , ,nnnS a n N???? ? ? ?且 1 2 3, 5,a a a? 成等差數(shù)列 ∴ 1 1 2 32 1 2 32 1 3222 2 2 72( 5 )S a a aS a a aa a a236。 = = 239。239。239。239。 = + = 237。239。239。239。 + = +239。238。 解得 1231519aaa236。 =239。239。239。239。 =237。239。239。?239。238。 （ 2）∵ 112 2 1nnnSa ??? ? ???????????????????① ∴ 12 2 1nnnSa? ? ? ?????????????????????② ② ①化得 1 3 2 ( 2)nnna a n+ = + ? ∵ 215 3 2 5aa= = + = ∴ 1 3 2 ( * )nnna a n N+ = + ? ∴ 11 312 2 2 2n nnna a++ =?， 11 31 ( 1)2 2n nnna a++ + = ? 故數(shù)列 { 12nna+}成首項(xiàng)為 11 3122a +=，公比也為 32 的等比數(shù)列，于是有 31 ( )22nnna += ∴ 3( ) 122nnna =， 32nnna = （ 3）∵ 1 1 1 1 13 3 2 3 2 3 2 2 ( 3 2 ) 0n n n n n n n nna = = ? = ?（當(dāng) n=1 時(shí)，取等號(hào)。） ∴ 130nna ? ， ∴1113nna 163。 （當(dāng)且僅當(dāng) n=1 時(shí)，取等號(hào)。） ∴211211 ( )1 1 1 1 1 1 3 1 331 [ 1 ( ) ]13 3 3 2 3 213nnnna a a??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 3．放縮后為差比數(shù)列，再求和 例 4．已知數(shù)列 {}na 滿足： 11?a ， )3,2,1()21(1 ????? nana nnn． 求證：11 2 13 ?? ???? nnn naa 證明：因?yàn)閚nn ana )21(1 ???，所以 1?na 與 na 同號(hào)，又因?yàn)?011 ??a ，所以 0?na ， 即 021 ???? nnnn anaa，即 nn aa ??1 ．所以數(shù)列 {}na 為遞增 數(shù)列，所以 11 ??aan ， 高一數(shù)學(xué)（必修 1， 4， 5， 2）講義 劉老師數(shù)學(xué)課堂 24 即nnnnn nanaa 221 ????，累加得： 121 2 12221 ??????? nn naa ?． 令12 2 12221 ?????? nn nS ?，所以nn nS 2 1222121 32 ????? ?，兩式相減得： nnn nS 2 12 121212121 132 ??????? ??，所以12 12 ???? nn nS，所以12 13 ???? nn na， 故得11 2 13 ?? ???? nnn naa． 4．放縮后為裂項(xiàng) 相消，再求和 例 5 已知數(shù)列 ??na 中21na n?，證明：2 2 2 21 1 1 1 51 2 3 3nS n? ? ? ? ? 放縮一：21 1 1 1( 1) 1n n n n n? ? ???( 2)n? 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )1 2 3 1 2 3 4 5 5 6 6 7 1nS n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ＝ 1 3 1 2 1 1 1 3 1 2 1 2 3 8 9 2 4 0 0 51 1 1 1 .3 6 4 0 0 3 6 4 0 0 3 6 0 0 3 6 0 0 3n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 點(diǎn)評(píng)：此種放縮為常規(guī)法，學(xué)生很容易想到，但需要保留前 5 項(xiàng)，從第 6 項(xiàng)開始放大，才 能達(dá)到證題目的，這一點(diǎn)學(xué)生往往又想不到，或因意志力不堅(jiān)強(qiáng)而放棄。需要保留前 5項(xiàng)，說(shuō)明放大的程度過(guò)大，能不能作一下調(diào)節(jié)？ 放縮二： 221 1 1 1 1 1( ) , ( 2 )1 ( 1 ) ( 1 ) 2 1 1 nn n n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )1 2 3 1 2 2 2 4 3 5 2 1 1nS n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 5 1 1 1 1 1 5 1 1 1 5( ) ( ) .4 2 2 3 1 4 2 2 3 3nn? ? ? ? ? ? ? ? ?? 點(diǎn)評(píng)：此種方法放大幅度較（一）小，更接近于原式，只需保留前 2 項(xiàng)，從第 3 項(xiàng)開始放大，能較容易想到，還能再進(jìn)一步逼近原式？ 放縮三： 2 21 1 1 1 1 1 1( ) 2( ) , ( 1 )1 1 1 1 12 1 2 1( ) ( )4 2 2 2 2 nn n nn n n n n? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 51 2 ( ) 1 2 ( )1 2 3 3 5 5 7 2 1 2 1 3 2 1 3nS n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 本題點(diǎn)評(píng)：隨著放縮程度的不同，前面需保留不動(dòng)的項(xiàng)數(shù)也隨著發(fā)生變化，放縮程度越小，精確度越高，保留不動(dòng)的項(xiàng)數(shù)就越少，運(yùn)算越簡(jiǎn)單，因此，用放縮法解題時(shí)，放縮后的式子要盡可能地接近原式，減小放縮度，以避免運(yùn)算上的麻煩。 高一數(shù)學(xué)（必修 1， 4， 5， 2）講義 劉老師數(shù)學(xué)課堂 25 【典型例題】 例 已知數(shù)列 ? ?na 為等差數(shù)列，每相鄰兩項(xiàng) ka ， 1?ka 分別為方程 0242 ????kcxkx，（ k 是正整數(shù)）的兩根 . W 1. （ 1）求 ? ?na 的通項(xiàng)公式 。 2. （ 2）求nccc ??? 21之和 。 （ 3）對(duì)于以上的數(shù)列 ? ?na 和??nc,整數(shù) 981 是否為數(shù)列｛nnca2 ｝中的項(xiàng)？若是 ,則求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不是 ,則說(shuō)明理由 . ： (1) 設(shè)等差數(shù)列 ? ?na 的公差為 d，由題意得 ? ?? ? )(221411是正整數(shù)kcaakaakkkkk??????????? 由 ??1 得 ? ?? ???? ??? ????? 4)1(4 34211 kaa kaakkkk ? ? ? ? 22434 2 ?????? ? ddaa kk得 由 ? ? 12,423 1 ???????? ? nanaaaa nnnnn得 另解 :由 ??1 得 ??? ????? ?? ?? 128413221 adaa aa 得 (其余略 ) (2) ? ?nnn caa22 1 ?? ?式得由 12 112 1)12)(12( 22 1 ????????? ? nnnnaac nnn 12 11)12 112 1()5131()311(21 ??????????????? nnnccc n ?? (10分 ) 1)12 11(l i m)(l i m2121 ????????????? ???? ncccccc nnnn ??? (3) ? ? ? ? )12()12(221 2 ??? nncan n得由 ∵ n是正整數(shù) , )12()12( 2 ?? nn 是隨 n的增大而增大 , 又 891255 ?ca ＜ 981, 1573266 ?ca ＞ 981 高一數(shù)學(xué)（必修 1， 4， 5， 2）講義 劉老師數(shù)學(xué)課堂 26 ∴ 整數(shù) 981不 是數(shù)列｛nnca2 ｝中的項(xiàng) . 例 已知數(shù)列 { na }、 { nb }滿足： 411?a， an+bn=1，)1)(1(1 nn nn aa bb ????. (1)求 ： b b b b b5. (2)求數(shù)列 {nb }的通項(xiàng)公式； (3)設(shè) 1 2 2 3 3 4 1