線性代數(shù)行列式性質(zhì)-資料下載頁
2025-10-09 19:01本頁面
【正文】 b b a bb b b a? 解 各列都加到第一列， ? ?? ?? ?? ?1111na n b b b ba n b a b bD a n b b a ba n b b b a????? ????? ?11[ 1 ] 11b b ba b ba n b b a bb b a? ? ? ? ?1 0 0 01 0 0[ 1 ] 1 0 01 0 0aba n b abab?? ? ? ??? ? ? ? 1[ 1 ] na n b a b ?? ? ? ? 例 計(jì)算行列式 22222222111111111111aaaabbbbDccccdddd?????1a b c d ? 解 : 222211111111aaabbbDcccddd??2222111111111111aaabbbcccddd2222111111111111aaabbba b c dcccddd??? ?223221111111111111aaabbbcccddd?0?nn1nnk1nn111k111kk1kk111bbccbbccaa0aaD?????????????例 .21 DDD ?證明1D2D證 對 D1 作運(yùn)算 ri + k rj 把它化為下三角行列式，設(shè)為 。pppp0pD kk11kk1k111 ???? ??，nnnnnnnkkkkbbccbbccppp???????????111111111110?nn1nnk1nn111k111kk1kk111bbccbbccaa0aaD?????????????例 .21 DDD ?證明1D2D證 對 D2 作運(yùn)算 ci + kcj 把它化為下三角行列式，設(shè)為 ，nnnnnnnkkkkbbccbbccppp???????????111111111110?.qqqq0qD nn11nn1n112 ???? ??nn1nnk1nn111k111kk1kk111bbccbbccaa0aaD?????????????例 .21 DDD ?證明1D2D證 對 D2 作運(yùn)算 ci + kcj 把它化為下三角行列式，設(shè)為 .qqqq0qD nn11nn1n112 ???? ??，nnnnnnkkkkqqccqccppp??????????11111111110?nn1nnk1nn111k111kk1kk111bbccbbccaa0aaD?????????????例 .21 DDD ?證明1D2D，nnnnnnkkkkqqccqccppp??????????11111111110?.21 DD? 把 D2n中的第 2n行依次與 2n?1行 、 ???、 第 2行對調(diào) (作 2n?2次相鄰對換 )? 再把第 2n列依次與 2n?1列 、 ???、第 2列對調(diào) ? 得 ddccbbaadcbaDnn??????????????? )22(22)1( ? 根據(jù)例的結(jié)果 ? 有 D2n?D2?D2(n?1) ?(ad?bc)D2(n?1)? 以此作遞推公式 ? 即得 D2n?(ad?bc)2D2(n?2) ? ? ? ? ?(ad?bc)n?1D2 ?(ad?bc)n? 解 例 計(jì)算 2n階行列式 ddccbbaaDn?????????????2? 其中未寫出的元素為 0? 則有 |A|?|A1||A2| ? ? ? |As|? 分塊對角矩陣 ? ??????????????sAAAA 21? 其中 Ai(i?1? 2? ? ? ?? s) 都是方陣 ? 推廣 nn1nnk1nn111k111kk1kk111bbccbbccaa0aaD?????????????例 1D2D.21 DD??方陣的行列式的定義 由 n階方陣 A的元素所構(gòu)成的行列式稱為方陣 A的行列式 ? 記作 |A|或 detA? ?方陣的行列式的運(yùn)算規(guī)律 (1)|AT|?|A|? (2)|?A|??n|A|? (3)|AB|?|A||B|? 公式 |AB|?|A||B|的證明 ? 設(shè) A?(aij)? B?(bij)? 記 2n階行列式 BEOAbbbbaaaaDnnnnnnnn?????????????????????????????????????????????????????????????????1111111110010000? 則 D?|A||B|? 而在 D中以 b1j乘第 1列 ? b2j乘第 2列 ? ? ? ? ? bnj乘第 n列 ? 都加到第 n?j列上 (j?1? 2? ? ? ?? n)? 有 OECAD?? ? 其中 C?(cij)? cij?b1jai1?b2jai2? ? ? ? ?bnjain ? 故 C?AB? 再對 D的行作 rj?rn?j(j?1? 2? ? ? ?? n)? 有 CA OED n ??? )1( ? 于是 D?(?1)n|?E||C| ?(?1)n(?1)n|C| ?|AB|? 因此 ? |AB|?|A||B|? 練習(xí) ,42222322222222212. x 為何值時(shí) ,行列式 0311111013x203123?= 4 21x ??D = 2+4x 0bababababababababa332313322212312111??????????.,4321430043204000D4000430043204321D 1 ?? ,244444033300220001DDT???24DD 1 ????因?yàn)樾辛惺?D互換第 1行、第 4行 (r1←→ r4)得行列式 D1，所以 4. 解
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