【正文】 行為 ?1, ?2,? , ?n?X? 通過分劃 {A1, A2,? , An} 的 復合 是指這樣的行為 ? = (?1|A1, ?2|A2,? , ?n|An)：當事件 Ai 發(fā)生時，采取行動 ?i (i =1, 2,? , n)。即對任何 ???，如果 ??Ai，那么 ?(?) = ? i (?) (i =1, 2,? , n)。 像風險行為的復合一樣，也可以把兩種或多種無常行為通過一個或多個事件復合起來，形成另一種無常行為。 (三 ) 無常行為的復合 ),( cAA ?????? ni iA1????? ???? ???? ???????? a l lfor if),( if),())(,()( AAAA c無常選擇與主觀概率 39 (四 ) 無常偏好 在無常環(huán)境中，消費者照樣依據(jù)個人偏好進行選擇。這意味著消費者在無常選擇集合 X?上有一個偏好關系 p ，叫做 無常偏好 。既然 X ? X? ， p 也決定了消費者在 X 上的偏好關系。 ? 注意 ：對于 ??X? 和 x?X， ? p x 與 ?(?) p x 的含義不同。 ?條件偏好 p|A ： 是指在事件 A?P 發(fā)生的條件下，消費者對各種無常行為的偏好情況。具體定義如下： 對任何 ?,??X?， ?事實 ： 當 A= ?時 ， (??,??X?)(? p|A ?)； 當 A= ?時 ， p|A = p 。 ?零事件 ： A?P叫做 零事件 ，是指 (??,??X?)(? p|A ?)。即在事件 A 發(fā)生的情況下，任何兩種無常行為都無差異。 ?事實 ： 空集 ? 是零事件 。 )),(),)((()|( ccA AAAAX ??????? pp ????無常選擇與主觀概率 40 (五 ) 主觀概率公理 ?問題 ： 在什么條件下 ， 無常偏好 p 能夠揭示主觀概率存在 ？ ?薩維奇深入研究了這個問題，提出了無常偏好應服從的六條公理：條件獨立公理、狀態(tài)獨立公理、定性概率公理、非退化公理、無原子公理、條件單調(diào)公理。 ?不過，薩維奇得到的概率只具有有限可加性，不具有可數(shù)可加性，這與通常的概率稍有不同。其原因在于事件域 F 是狀態(tài)空間 ? 的冪集 。 根據(jù)概率論知識，當 ? 為無限集合時， 在其冪集上根本不存在可數(shù)可加性的概率測度。 ?為了更好地理解薩維奇公理，需要知道下面兩個概念。 ?有限可加概率測度 P: P ?[0,1]： P(?) =1且對任何 A, B?P，若 A?B = ?，則 P(A?B) = P(A) + P(B)。 ?無原子測度 P: P?[0,1]： ? p?[0,1]， ?A,B?P，若 A?B，則存在 C?P 使得 A ? C ? B 且 P(C ) = pP(A) + (1? p)P(B)。 無常選擇與主觀概率 41 對任何 ?,?, ?,??X? 及 A?P， ?條件獨立公理 )),(),(()),(),(( cccc AAAAAAAA ???????? pp ??意義 ：在事件 A 發(fā)生的條件下對 ? 與 ? 的評價，僅僅取決于 A發(fā)生時的行動，而與 A 沒有發(fā)生時的行動無關。 ),( cAA ?? ? ? ?),( cAA ??),( cAA ??),( cAA ??? X? (五 ) 主觀概率公理 無常選擇與主觀概率 42 對任何 x, y?X， ??X? 及任何非零事件 A?P， ?狀態(tài)獨立公理 )),(),(()( cc AAyAAxyx ?? pp ??意義 ：既然 ? = X， “ 狀態(tài) ” 便指 X 中的行為，即確定性的結(jié)果。 這條公理是說，對非零事件下采取的任何兩種確定性行 動 (狀態(tài) )的優(yōu)劣評價，僅僅取決于消費者對這兩種確定性行動的 本來評價 （即偏好關系 p 下的評價）。它既與非零事件未發(fā)生時的行動無關，又與非零事件無關 （即不論在哪個非零事件下，其評價結(jié)論都是如此） 。這就是無常偏好關系下對 “ 狀態(tài) ” 的評價的獨立性。 ?x y ),( cAAx ?),( cAAy ?(五 ) 主觀概率公理 無常選擇與主觀概率 X? 43 對任何 A, B?P 及 x, y, a, b?X ， 如果 x p y 且 a p b， 則 。 ?定性概率公理 )),(),(()),(),(( cccc BbBaAbAaByBxAyAx pp ??意義 ：記 ， 。 ?該公理是說，對于復合行為 ?(x, y)與 ?(x, y)的評價在所有這樣的確定性結(jié)果對子 (x, y)之間一致： x, y?X 且 x p y。 這種一致性蘊含著一層重要含義： 事件 A 發(fā)生的概率不低于事件 B。 ?要看出這一點，只須注意這樣一個事實：在事件發(fā)生的概率存在的情況下，以較大概率選擇較差結(jié)果之行為，當然要比以較小概率選擇較差結(jié)果之行為要差。 ?已知結(jié)果 x比結(jié)果 y差，且 ?(x, y)不比 ?(x, y)優(yōu)。這說明，行為 ?(x, y)選擇到較差結(jié)果 x 的概率不低于行為 ?(x, y) 選擇到較差結(jié)果 x 的概率，即 A 發(fā)生的概率不低于 B 發(fā)生的概率 。 ),(),( cAyAxyx ?? ),(),( cByBxyx ??(五 ) 主觀概率公理 無常選擇與主觀概率 44 ??,?,??X?， 若 ? ? ?， 則存在分劃 {A1, A2,? , An}使得 ?非退化公理 ?無原子公理 無常選擇與主觀概率 (五 ) 主觀概率公理 存在 x, y?X 滿足 x p y。 ?意義 ：消費者不能 “ 好壞不分 ” 。 ???? ),2,1(),(amp。),( niAAAA iciici ????????意義 ：只要行為 ? 比行為 ? 好，那么不論行為 ? 有多好，都能通過 把狀態(tài) 空間 ? 進 行 更加細致的分劃，來找出 “ 很小 ” 的事件 Ai ， 使得行為 ? 影響不了對 ? 與 ? 的評價： ① 只要僅在事件 Ai 發(fā)生時才采取行為 ?， Ai不發(fā)生時采取比 ? 差的行為 ? ， 那么其結(jié)果依然比 ? 差 ； ② 只要僅在事件 Ai 發(fā)生時才采取行為 ?， Ai不發(fā)生時采取比 ? 優(yōu)的行為 ? ， 那么其結(jié)果依然比 ? 優(yōu) 。 ?? 越好 ， 找到的事件 Ai越小 ， 從而體現(xiàn)了無原子性 ： 可根據(jù)偏好來對 ?進行無限細致的分劃 ， 只有更細 ， 沒有最細 。 45 對任何 ?,??X?及 A?P， 如果 (???A)(? p?(?))或者 (???A)(?(?) p?)， 則 ? p|A ?。 ?條件單調(diào)公理 ?意義 ：這條公理的提出是自然的。對此，可進行如下兩個方面的解釋。 ① 既然在事件 A 中的任何一種狀態(tài) ? 出現(xiàn)的情況下，行為 ? 都比行為 ? 的相應結(jié)果 ?(?)差，那么在事件 A發(fā)生的條件下，采取行為 ? 理應不會比采取行為 ? 更好，即自然應有 ? p|A ?； ② 既然在事件 A 中的任何一種狀態(tài) ? 出現(xiàn)的情況下，行為 ? 的相應結(jié)果 ?(?)都比行為 ? 差，那么在事件 A 發(fā)生的條件下，采取行為 ? 理應不會比采取行為 ? 更好，即自然應有 ? p|A ? 。 (五 ) 主觀概率公理 無常選擇與主觀概率 46 (六 ) 薩維奇定理 ?定理 設 X 是消費者的確定性選擇集合 ， p 是消費者在無常 環(huán)境 (?,P)中的偏好 ， 其中 ? = X ? R。 則下面兩種表述等價 ： ① p 服從條件獨立公理、狀態(tài)獨立公理、定性概率公理、非退化公理、無原子公理和條件單調(diào)公理 ； ② 存在唯一的有限可加無原子概率測度 P : P?[0,1] 和 仿射變換下唯一的有界函數(shù) u : X?R， 使得對任何 ?,? ? X?， 都有 ))(d))(()(d))((()( ???????? PuPu ?? ?? ??p?意義 ：該定理基本上闡明了主觀概率的存在性及其條件。如果仿效經(jīng)典概率論的做法進一步研究，就可得到通常意義的概率 —— 真正的主觀概率，從而在無常環(huán)境中，消費者的決策好像是根據(jù)這個主觀概率下的預期效用進行的。這樣，對于無常選擇行為，就可使用預期效用理論進行研究，即可把無常性納入到了預期效用理論的應用范圍之內(nèi) 。 無常選擇與主觀概率 47 第 7次作業(yè) ? 設風險偏好 p 滿足獨立性公理。證明：對任何 f, g?D， f p g，都有下述事實成立： (1) 對任何 p?[0, 1]，都有 f p (1?p) f + p g p g； (2) 對任何 p,q?[0, 1]，若 p ? q，則 (1?p) f + pg p (1?q) f + q g。 提示 ：可應用 (1)的結(jié)論來證明 (2)。 (11月 16日前，通過 交給助教 胡諜 )