1671矩陣及其運(yùn)算-資料下載頁
2025-08-23 14:17本頁面
【導(dǎo)讀】大寫字母A，B，C，…aij表示矩陣第i行、第j列的元素。只有一行的矩陣A1×n=(a1a2…A、B是同型的。元素全為0的矩陣稱為零矩陣，記作O，不同型的零矩陣是不相等的。是常數(shù)，A=m×n，則矩陣。設(shè)A、B為m×n矩陣，?BA即矩陣乘法不滿足交換律
【正文】 設(shè) A 是可逆陣，證明： (1) 若 A X = A Y ? X = Y (2) 若 A B = 0 ? B = 0 證： A－ 1 ( A X ) = A－ 1 ( A Y ) ( A－ 1 A ) X = ( A－ 1 A ) Y EX = EY X = Y (1) A X = A Y 由 所以 (2) 由 AB =0， 有 A－ 1 (AB) = A－ 1 0 所以 B =0 ( A－ 1 A ) B = 0 (1) 若 A， B均為 n階方陣，且 A B = E (或 B A =E )，則 B＝ A－ 1 證： ? |A| |B| = |E| = 1 ? |A| ? 0 A－ 1存在，且 A－ 1 = A－ 1E = A－ 1(AB) = (A－ 1A) B = EB = B 設(shè) A B = E 同理可證 B A =E 的情形 三、逆矩陣的性質(zhì) (2) ( A－ 1 )－ 1 = A (3) 若 A可逆 ， ? ? 0 為常數(shù) ， 則 11 1)( ?? ? AA??(4) 若 A， B 均為 n階可逆矩陣 ， 則 (AB)－ 1 = B－ 1A－ 1。 特別： 當(dāng) |A| ? 0， 有 (A m )－ 1 = (A－ 1 ) m (m為正整數(shù) ) 若 A1， A2， … ， Am均為 n階可逆矩陣，則 ( A1 A2 … Am)－ 1 = Am－ 1 … A2－ 1 A1－ 1 推廣： 證明： 因?yàn)? (AB)(B－ 1A－ 1) = A E A－ 1 = E 所以 (AB)－ 1 = B－ 1A－ 1 = A ( B B－ 1 ) A－ 1 (5) ||1|||| 11AAA ?? ??這是因?yàn)? | A－ 1 | | A | = | E | = 1 四、初等行變換求逆矩陣 (方法二 ) 1. 初等矩陣都是可逆矩陣，且其矩陣仍然是初等矩陣 ),()],([ 1 jiPjiP ??))1(() ) ](,([ 1 ?? iPiP ??))(,())](,([ 1 ?? ??? jiPjiP定理 3 若方陣 A可逆，則存在有限個(gè)初等矩陣 P1, P2,… Pm, 使 A = P1 P2 … Pm 證：因?yàn)?A可逆，則 r(A) = n， 標(biāo)準(zhǔn)形為 En， A = P1 P2 … Pm P1 P2 … PsEPs+1… Pm = A 即 存在有限次初等變換使 A化為 En， 有限次初等變換使 En化成 A， 反之，也存在 P1， P2， … ， Pm， 使 故存在有限個(gè)初等矩陣 ???? 11121 PPP m ?表示為： A = P1 P2 … Pm E A E ???? 11121 PPP m ? A－ 1 ( A E ) ( E A－ 1 ) 初等行變換 例 4 設(shè) ,343122321???????????A 求 A－ 1. 解： ???????????100343010122001321)( EAr2－ 2r1 r3－ 3r1 ????????????????103620012520001321??????????????????111100012520011201????????????????111100563020231001r1 － 2r3 r2 － 5r3 ?????????????1111002/532/3010231001)21(2 ??r)1(3 ??rr1 + r2 r3 － r2 故 ???????????????1112/532/32311A對(duì) A 也可通過初等列變換求 A－ 1 ??????EA 初等列變換 ?????????1AEA = P1 P2 … Pm 注： 表示為： ???? 11121 PPP m ? E A E A－ 1 ???? 11121 PPP m ?對(duì)于 n元線性方程組 AX = B 則 X＝ A－ 1B |A| ? 0， A－ 1存在 若 五、逆矩陣的應(yīng)用 1. 解線性方程組 例 5： 解方程組 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1 2 x1 + 2 x2 + x3 = ?1 3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3 解： 方程組簡記為 ,343122321???????????A ,311????????????B,321???????????xxxXX = A?1 B 由于 | A | = 2 ? 0, A可逆，故 A X = B 其中 而 ,111253232311????????????????A????????????321xxxX BA1?????????????????11125323231???????????311?????????????398即 x1= ? 8, x2= 9, x3= ? 3. 2 、解矩陣方程 ???????????????????????????315241213124021X例 6 ：解矩陣方程 解：矩陣方程簡記為 A X = B ???????????????????????????????31524121312402111 BAX17213124021??????A? ? 0 ? A－ 1存在 ??????????????????????????3152416521211245171 ???????????????3563716615171例 7 解矩陣方程 AX + E = A2 + X 其中： ,101020101????????????AE 為三階單位矩陣 解：由 AX + E = A2 + X 即 ( A?E ) X = ( A ? E )( A + E ) 得 AX ? X = A2 ? E ,001010100????????????? EA而所以 A?E 可逆 . 故 X = A + E ???????????????????????100010001101020101????????????201030102( A?E ) X = ( A ? E )( A + E ) 所以 (A－ E)－ 1( A?E ) X = (A－ E)－ 1( A ? E )( A + E )
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