【導(dǎo)讀】剖分結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)對(duì)單元、節(jié)點(diǎn)分別用連續(xù)正整數(shù)編號(hào)。體積和矩陣元素。本章主要講單元分析的一般理論、方法。式都具有普遍性?！獜椥阅Ａ?、泊松比。陣元素是按照平面應(yīng)力問題的物理方程得出的；對(duì)于平面應(yīng)變問題，需將式（2-9）中的E換為，但結(jié)構(gòu)類型不同，力學(xué)性態(tài)有區(qū)別，變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式，是坐標(biāo)的函數(shù)。有限元法采用能量原。理進(jìn)行單元分析，因而必須事先給出（設(shè)定）位移函數(shù)。彈性力學(xué)中，恰當(dāng)選取位移函數(shù)不是一件容易的事。有限單元法中當(dāng)單元?jiǎng)澐值米銐蛐r(shí)，把位移函數(shù)設(shè)。定為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式也可得到相當(dāng)精確的結(jié)果。單元法具有的重要優(yōu)勢(shì)之一。、a6——待定常數(shù)，由單元位移的6個(gè)分量

　　

【正文】 121212122222211111211?????（ 238） 單元?jiǎng)偠染仃嚲哂幸韵碌男再|(zhì)： （ 1）單元?jiǎng)偠染仃囍忻總€(gè)元素有明確的物理意義 例如，kij表示當(dāng)單元位移中第 j個(gè)元素為 1(?j=1)其余元素為零時(shí)，引起的單元力中的第 i個(gè)節(jié)點(diǎn)力 Fi。 把平衡方程（ 238）寫開 主對(duì)角線上元素 kii(i=1,nj)恒為正值。 （ 2） [k]的每一行或每一列元素之和為零 F1 =0 F2 =0 F3=0 Fi=0 Fj =0 Fnj =0 r s t 圖 26 x y r s t 1 1 inji n jjijiiiii Fkkkkk ???????? ????? ???2211021????????i njijiiiikkkkk???以上式中第 i行為例， 當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)沿 x向或 y向都產(chǎn)生單位位移時(shí)，單元作平動(dòng)運(yùn)動(dòng)，無應(yīng)變，也無應(yīng)力，因而單元結(jié)點(diǎn)力為零（不含初應(yīng)力）。 所以有 即， [k]的每一行元素之 和為零。由于對(duì)稱性， 每一列元素之和也為零。 （ 3） [k]是對(duì)稱矩陣 由 k單元的表達(dá)式，可見，由此可知 [k]具有對(duì)稱性。 ? ??????????????????????jjjjjjjjjjnnjninnnjnjjjijjinijiiiinjinjikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk???????????21212122222211111211nj?nj 對(duì)于主對(duì)角線元素對(duì)稱。對(duì)稱表達(dá)式： kij = kji 證明： ① kij表示當(dāng)單元位移中第 j個(gè)元素為 1(?j=1)其余元素為零時(shí)，引起的單元力中的第 i個(gè)節(jié)點(diǎn)力 Fi ② kji表示當(dāng)單元位移中第 i個(gè)元素為 1(?i=1)其余元素為零時(shí)，引起的單元力中的第 j個(gè)節(jié)點(diǎn)力 Fj 第 i自由度 第 j自由度 位移 ?i=1 ?j=1 力 Fi = kij Fj = kji 虛功 Fi ?i = kij Fj ?j = kji 由虛功原理，得 kij = kji （ 4）單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃?（ 即 [k]的行列式為零） 單元?jiǎng)偠染仃囀窃趩卧幱谄胶鉅顟B(tài)的前提下得出的。單元作為分離體看待，作用在它上面的外力（單元力）必定是平衡力系。然而， 研究單元平衡時(shí)沒有引入約束 。承受平衡力系作用的無約束單元，其 變形是確定的，但位移不是確定的 。所以出現(xiàn)性質(zhì)（ 3）中的“平動(dòng)問題”，即單元可以發(fā)生任意的剛體運(yùn)動(dòng)。從數(shù)學(xué)上講，方程（ 238）的解不是唯一的或不能確定的。由此， 單元?jiǎng)偠染仃囈欢ㄊ瞧娈惖?。 （ 5）單元?jiǎng)偠染仃囀浅Ａ烤仃? 單元力和單元位移成線性關(guān)系是基于彈性理論的結(jié)果。 等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 從前面單元分析可以看出：?jiǎn)卧胶馑玫降牧烤鶎儆诠?jié)點(diǎn)的量，如單元位移、單元力。載荷亦應(yīng)如此， 必須將體積力、表面力轉(zhuǎn)化到節(jié)點(diǎn)上去，成為等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 （載荷）。在第 （ 235）和（ 236）。 CSV VVVV ???? ???? ???? l CSTA VTT phdlqNhdx dyqN }{}{][}{][}{ ? （ 235） }{}{ dT FV ???（ 236） 這里， ?Fd?就是體積力、表面力和集中力之和的總等價(jià)節(jié)點(diǎn)力。 }{}{}{}{ cSVd pFFF ??? （ 244） 把總等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 ? Fd ?分解成體積力、表面力和集中力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力之和，有 ?FV?—— 單元上體積力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 ?FS?—— 單元上表面力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 ?pC?—— 單元上節(jié)點(diǎn)上的集中力 注意到式（ 235），得體積力等價(jià)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式： P39 表面力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式： ??? A VTV hd x dyqNF }{][}{（ 245） hdlqNF STlS }{][}{ ??（ 246） 體積力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 表面力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 等價(jià)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算舉例 （ 1）單元自重 圖 29所示平面應(yīng)力三角形單元，單元厚度為 h。單元單位體積自重為 ，自重指向 y軸的負(fù)方向。 圖 29 i j m Pvix Pvjx Pvmx Pviy Pvjy Pvmy x y ??? A VTV hd x dyqNF }{][}{ （ 245） 0{}Vq ???? ?????① 計(jì)算式 ]][][][[][ mji NNNN ? （ 221） ?000 0{}0 00j miV AjimN NNF h dx dyNNN ???? ??? ?? ?????????注意到形函數(shù)的性質(zhì) 4： 3Ad x dyNA i ???（ 223） 得自重荷載的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 ][00][ INNNN iiii ???????? （ 222） （ i,j,m） 根據(jù)體積力和式（ 245）、（ 221）、（ 222），得 0 0 00 13 3 3{ } [ 0 1 0 1 0 1 ]30 0 03 3 3TTVA A AF h hAA A A?????? ??? ? ?????? ????（ 247） 上式表明：自重載荷的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力為單元重量的 1/3。 ② 子程序 見 （ 2）均布面力 i j m 圖 210 x y qs 單元邊界上作用了均勻的分布力，如圖 210所示，其集度為 ?qs?。 ???????SySxS qqq }{h dlqNF STleS }{][}{ ??（ 246） ]][][][[][ mji NNNN ? （ 221） 根據(jù)式（ 246）、（ 221）和（ 222） ① 計(jì)算式 000{} 000TSxjimS lj SyimqNNNF h dlN qNN?? ????? ?? ?????????注意到形函數(shù)性質(zhì) 4 ： （ 223） ? ?ij i jidlN 21得 { } [ 0 0 ]2 TS S x S y S x S yhlF q q q q?（ 248） ][00][ INNNN iiii ???????? （ 222） 均勻分布力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力為 式（ 248）表明：在 ij邊上受均布面力的平面問題三角形單元，其等價(jià)節(jié)點(diǎn)力等于將均布面力合力之半簡(jiǎn)單地簡(jiǎn)化到 i、 j節(jié)點(diǎn)上，方向與分布力方向相同。 m節(jié)點(diǎn)上為零。 ② 子程序 見 （ 3）線性分布面力 i j m 圖 211 x y s qs 表面力集度在 i點(diǎn)為 [qsx, qsy]T，而在 j點(diǎn)為 0。設(shè)坐標(biāo)軸 s的原點(diǎn)取在 i點(diǎn)，沿 ij為正向， 。 lss ji ?? ,0ij邊上任一點(diǎn)的面力集度 ?qs? ? ??????????????)1()1(lsqlsqqsysxs① 計(jì)算式 i j m 圖 212 x y s l 在 ij邊上有： lsNi ?? 1lsNj ?0?mN將 ?qs?和上式代入式 （ 246） ， 有 由形函數(shù)的性質(zhì) 3, 0),(),(1),( ???????? yxNxx xxyxNxx xxyxN mijijijii用坐標(biāo) s表示： ?????????????????SySxTqqllllh000060063003TSySxSySx qqqqhl??????? 00313132322（ 249） dslsqlsqlslslslshFSySxTlS??????????????????????????? ?)1()1(0000001001}{ 式（ 249）表明： ij邊受線性分布面力： i點(diǎn)為 [qsx, qsy]T，j點(diǎn)為 0時(shí)，其等價(jià)節(jié)點(diǎn)力可將總載荷的 2/3分配給 i點(diǎn)， 1/3分配給 j點(diǎn)， m點(diǎn)為零得出。 ② 子程序 見 單元上的體積力和表面力向結(jié)點(diǎn)的移置都是符合直觀的靜力等效原理的 ， 并與工程中的簡(jiǎn)單的處理方法相一致 。應(yīng)當(dāng)指出 ， 這種移置方法是 線性位移模式三結(jié)點(diǎn)三角形單元的必然結(jié)果 。 對(duì)于非線性位移模式的單元 ， 上述這種簡(jiǎn)單的載荷移置方法一般是不成立的 ， 而應(yīng)當(dāng)采用公式 （ 235） 進(jìn)行計(jì)算 。 ? ???? ??? l CSTA VTd phdlqNh d x d yqNF }{}{][}{][ （ 235） 本章小結(jié) ：?jiǎn)卧治龅闹饕蝿?wù)是： 一、組集單元?jiǎng)偠染仃嚕? 二、組集單元等價(jià)節(jié)點(diǎn)力矩陣。 下接第 3章