20xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版17-資料下載頁
2025-01-25 05:28本頁面
【正文】 2N，于是OO1NO2為平行四邊形．由于△OST、△O1SN、△O2NT都是等腰三角形．∴ ∠SO1N=∠O=∠NO2T，∴ ∠OST=∠OSN．∴ S、N、T三點(diǎn)共線．二．（本題50分）試問：當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)x0，x1，…，xn（n≥2）滿足什么條件時(shí)，存在實(shí)數(shù)y0，y1，…，yn使得z02=z12+z22+…+zn2成立，其中zk=xk+iyk，i為虛數(shù)單位，k=0，1，…，n。證明你的結(jié)論。解：z02=x02－y02+2x0y0i=(x12+x22+…+xn2)－(y12+y22+…+yn2)+2(x1y1+x2y2+…+xnyn)i．∴ x02－y02=(x12+x22+…+xn2)－(y12+y22+…+yn2)；x0y0=x1y1+x2y2+…+xnyn．若x02 x12+x22+…+xn2，則y02 y12+y22+…+yn2．此時(shí)x02y02( x12+x22+…+xn2)( y12+y22+…+yn2)≥(x1y1+x2y2+…+xnyn)2=(x0y0)2．矛盾．故必x02≤x12+x22+…+xn2．反之，若x02≤x12+x22+…+xn2成立．此時(shí)，可分兩種情況：⑴ 當(dāng)x02=x12+x22+…+xn2成立時(shí)，取yi=xi(i=0，1，2，…，n)，于是z02=(x0+y0i)2=x02－y02+2x0y0i=2x0y0i，而z12+z22+…+zn2=(x12+x22+…+xn2)－(y12+y22+…+yn2)+2(x1y1+x2y2+…+xnyn)i=2(x1y1+x2y2+…+xnyn)i=2(x12+x22+…+xn2)i=2x02i=2x0y0i．即z02=z12+z22+…+zn2成立．⑵ 當(dāng)x02x12+x22+…+xn2成立時(shí)，記a2= x12+x22+…+xn2－x020，于是xi(i=1，2，…，n)不能全為0．不妨設(shè)xn≠0，取y0=y1=y2=…=yn－2=0，yn－1=，yn=－，則此時(shí)，z02= x02－y02+2x0y0i=x02；而z12+z22+…+zn2=(x12+x22+…+xn2)－(y12+y22+…+yn2)+2(x1y1+x2y2+…+xnyn)i =(x12+x22+…+xn2)－(+)+2(xn－1－xn)i =(x12+x22+…+xn2)－(x12+x22+…+xn2－x02)=x02．仍有z02=z12+z22+…+zn2成立．故所求條件為x02≤x12+x22+…+xn2．三、（本題50分）在10025的長(zhǎng)方形表格中每一格填入一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，第i行第j列中填入的數(shù)為xi , j（i=1，2，…，100；j=1，2，…，25）（如表1）。然后將表1每列中的數(shù)按由小到大的次序從上到下重新排列為x162。1 , j≥x162。2 , j≥…≥x162。100 , j（j=1，2，…，25）。（如表2）求最小的自然數(shù)k，使得只要表1中填入的數(shù)滿足xi，j≤1（i=1，2，…，100），則當(dāng)i≥k時(shí)，在表2中就能保證x162。i，j≤1成立。表1表2x1,1x1,2…x1,25x162。1,1x162。1,2…x162。1,25x2,1x2,2…x2,25x162。2,1x162。2,2…x162。2,25……………………x100,1x100,2…x100,25x162。100,1x162。100,2…x162。100,25解：在表1中，取x4i－3,i=x4i－2,i=x4i－1,i =x4i,i =0(i=1，2，…，25)，其余各數(shù)均取，于是，每列各數(shù)之和均=1．但重新填入后，前96行之和均= 1．第999100行之和=0．故k≤97．反之，如果表2中第97行的25個(gè)數(shù)涂黃，98~100行共75個(gè)數(shù)涂紅，則這些涂紅的數(shù)在表1中至多分布在75行中，于是除這75行外的其余各行中的每個(gè)數(shù)都不小于同列中涂黃的數(shù)，即涂黃4個(gè)數(shù)的和≤沒有涂紅數(shù)的行的每一行數(shù)的和≤1．于是表2中第97行的數(shù)的和≤1，故第99100行的數(shù)的和≤1．即能保證表2中第97~100行的數(shù)的和≤1．∴ k=97．
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