【文章內(nèi)容簡介】 lytic hierarchy process,簡稱AHP），也稱層級分析法什么是層次分析法層次分析法（The analytic hierarchy process）簡稱AHP，在20世紀70年代中期由美國運籌學家托馬斯塞蒂（）正式提出。它是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。由于它在處理復雜的決策問題上的實用性和有效性，很快在世界范圍得到重視。它的應用已遍及經(jīng)濟計劃和管理、能源政策和分配、行為科學、軍事指揮、運輸、農(nóng)業(yè)、教育、人才、醫(yī)療和環(huán)境等領域。層次分析法的基本思路與人對一個復雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的。不妨用假期旅游為例：假如有3個旅游勝地A、B、C供你選擇，你會根據(jù)諸如景色、費用和居住、飲食、旅途條件等一些準則去反復比較這3個候選地點．首先，你會確定這些準則在你的心目中各占多大比重，如果你經(jīng)濟寬綽、醉心旅游，自然分別看重景色條件，而平素儉樸或手頭拮據(jù)的人則會優(yōu)先考慮費用，中老年旅游者還會對居住、飲食等條件寄以較大關注。其次，你會就每一個準則將3個地點進行對比，譬如A景色最好，B次之；B費用最低，C次之；C居住等條件較好等等。最后，你要將這兩個層次的比較判斷進行綜合，在A、B、C中確定哪個作為最佳地點。層次分析法的基本步驟建立層次結(jié)構(gòu)模型。在深入分析實際問題的基礎上，將有關的各個因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次，同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的作用。最上層為目標層，通常只有1個因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以有一個或幾個層次，通常為準則或指標層。當準則過多時(譬如多于9個)應進一步分解出子準則層。構(gòu)造成對比較陣。從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對于從屬于(或影響)上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和1—9比較尺度構(gòu)追成對比較陣，直到最下層。計算權(quán)向量并做一致性檢驗。對于每一個成對比較陣計算最大特征根及對應特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量(歸一化后)即為權(quán)向量：若不通過，需重新構(gòu)追成對比較陣。計算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗。計算最下層對目標的組合權(quán)向量，并根據(jù)公式做組合一致性檢驗，若檢驗通過，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對比較陣。層次分析法的優(yōu)點運用層次分析法有很多優(yōu)點，其中最重要的一點就是簡單明了。層次分析法不僅適用于存在不確定性和主觀信息的情況，還允許以合乎邏輯的方式運用 經(jīng)驗、洞察力和直覺。也許層次分析法最大的優(yōu)點是提出了層次本身，它使得買方能夠認真地考慮和衡量指標的相對重要性。建立層次結(jié)構(gòu)模型將問題包含的因素分層：最高層（解決問題的目的）；中間層（實現(xiàn)總目標而采取的各種措施、必須考慮的準則等。也可稱策略層、約束層、準則層等）；最低層（用于解決問題的各種措施、方案等）。把各種所要考慮的因素放在適當?shù)膶哟蝺?nèi)。用層次結(jié)構(gòu)圖清晰地表達這些因素的關系。〔例2〕 選拔干部模型對三個干部候選人yyy3，按選拔干部的五個標準：品德、才能、資歷、年齡和群眾關系，構(gòu)成如下層次分析模型： 假設有三個干部候選人yyy3，按選拔干部的五個標準：品德，才能，資歷，年齡和群眾關系，構(gòu)成如下層次分析模型 構(gòu)造成對比較矩陣比較第 i 個元素與第 j 個元素相對上一層某個因素的重要性時，使用數(shù)量化的相對權(quán)重aij來描述。設共有 n 個元素參與比較，則成對比較矩陣。成對比較矩陣中aij的取值可參考 Satty 的提議，按下述標度進行賦值。稱為aij在 19 及其倒數(shù)中間取值。 aij = 1，元素 i 與元素 j 對上一層次因素的重要性相同； aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要； aij = 5，元素 i 比元素 j 重要； aij = 7，元素 i 比元素 j 重要得多； aij = 9，元素 i 比元素 j 的極其重要； aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 與 j 的重要性介于aij = 2n ? 1與aij = 2n + 1之間；，n=1,2,...,9，當且僅當aji = n。成對比較矩陣的特點：。（備注：當i=j時候，aij = 1）對例 2，選拔干部考慮5個條件：品德齡x1，才能x2，資歷x3，年x4，群眾關系x5。某決策人用成對比較法，得到成對比較陣如下：a14 = 5 表示品德與年齡重要性之比為 5，即決策人認為品德比年齡重要。作一致性檢驗從理論上分析得到：如果A是完全一致的成對比較矩陣，應該有aijajk = aik。但實際上在構(gòu)造成對比較矩陣時要求滿足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對比較矩陣存在一定程度的不一致性。由分析可知，對完全一致的成對比較矩陣，其絕對值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對成對比較矩陣 的一致性要求，轉(zhuǎn)化為要求： 的絕對值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大。檢驗成對比較矩陣 A 一致性的步驟如下： 計算衡量一個成對比矩陣 A（n1 階方陣）不一致程度的指標CI：其中λmax是矩陣 A 的最大特征值。注解 從有關資料查出檢驗成對比較矩陣 A 一致性的標準RI：RI稱為平均隨機一致性指標，它只與矩陣階數(shù) 有關。 按下面公式計算成對比較陣 A 的隨機一致性比率 CR：。 判斷方法如下： 當CR例如對例 2 的矩陣計算得到,查得RI=。這說明 A 不是一致陣，但 A 具有滿意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。此時A的最大特征值對應的特征向量為U=(,)。這個向量也是問題所需要的。通常要將該向量標準化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。該特征向量標準化后變成U =(,)。經(jīng)過標準化后這個向量稱為權(quán)向量。這里它反映了決策者選拔干部時，視品德條件最重要，其次是才能，再次是群眾關系，年齡因素，最后才是資歷。各因素的相對重要性由權(quán)向量U的各分量所確定。求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 語句求A的特征值:〔Y,D〕=eig（A），Y為成對比較陣 的特征值，D 的列為相應特征向量。在實踐中，可采用下述方法計算對成對比較陣A=(a_{ij})的最大特征值λmaxZ(A)和相應特征向量的近似值。定義，可以近似地看作A的對應于最大特征值的特征向量。計算可以近似看作A的最大特征值。實踐中可以由λ來判斷矩陣A的一致性。層次總排序及決策現(xiàn)在來完整地解決例 2 的問題，要從三個候選人y1,y2,y3中選一個總體上最適合上述五個條件的候選人。對此，對三個候選人y = y1,y2,y3分別比較他們的品德(x1)，才能(x2)，資歷(x3)，年齡(x4)，群眾關系(x5)。先成對比較三個候選人的品德，得成對比較陣經(jīng)計算，B1的權(quán)向量ωx1(Y)=(,)z故B1的不一致程度可接受。ωx1(Y)可以直觀地視為各候選人在品德方面的得分。類似地，分別比較三個候選人的才能，資歷，年齡，群眾關系得成對比較陣通過計算知，相應的權(quán)向量為它們可分別視為各候選人的才能分，資歷分，年齡分和群眾關系分。經(jīng)檢驗知B2,B3,B4,B5的不一致程度均可接受。最后計算各候選人的總得分。y1的總得分從計算公式可知，y1的總得分ω(y1)實際上是y1各條件得分ωx1(y1),ωx2(y1),...,ωx5(y1),的加權(quán)平均, 權(quán)就是各條件的重要性。同理可得y2,Y3 的得分為ωz(y2)= ,ωz(y3)= 比較后可得：候選人y3是第一干部人選。層次分析法的用途舉例例如，某人準備選購一臺電冰箱，他對市場上的6種不同類型的電冰箱進行了解后，在決定買那一款式時，往往不是直接拿電冰箱整體進行比較，因為存在許多不可比的因素，而是選取一些中間指標進行考察。例如電冰箱的容量、制冷級別、價格、型號、耗電量、外界信譽、售后服務等。然后再考慮各種型號冰箱在上述各中間標準下的優(yōu)劣排序。借助這種排序，最終作出選購決策。在決策時，由于6種電冰箱對于每個中間標準的優(yōu)劣排序一般是不一致的，因此，決策者首先要對這7個標準的重要度作一個估計，給出一種排序，然后把6種冰箱分別對每一個標準的排序權(quán)重找出來，最后把這些信息數(shù)據(jù)綜合，得到針對總目標即購買電冰箱的排序權(quán)重。有了這個權(quán)重向量，決策就很容易了。層次分析法應用的程序運用AHP法進行決策時，需要經(jīng)歷以下4個步驟：建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)；構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；（正互反矩陣）針對某一個標準，計算各備選