【文章內(nèi)容簡介】 樣本自相關(guān)圖 ? 從圖形上看： 人均居民消費（ CPC）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（ GDPPC） 是非平穩(wěn)的 。 ? 從滯后 14期的 QLB統(tǒng)計量看： CPC與 GDPPC序列的統(tǒng)計量計算值均為 ，超過了顯著性水平為 5%時的臨界值 。再次表明它們的非平穩(wěn)性。 就此來說，運用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實際意義的。 不過，第三節(jié)中將看到，如果兩個非平穩(wěn)時間序列是 協(xié)整 的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時間序列恰是 協(xié)整 的。 四、平穩(wěn)性的單位根檢驗 對時間序列的平穩(wěn)性除了通過圖形直觀判斷外，運用統(tǒng)計量進行統(tǒng)計檢驗則是更為準確與重要的。 單位根檢驗（ unit root test） 是統(tǒng)計檢驗中普遍應(yīng)用的一種檢驗方法。 DF檢驗 我們已知道 ， 隨機游走序列 Xt=Xt1+?t 是 非平穩(wěn)的 ， 其中 ?t是白噪聲 。 而該序列可看成是隨機模型 Xt=?Xt1+?t 中參數(shù) ?=1時的情形。 也就是說，我們對式 Xt=?Xt1+?t （ *） 做回歸，如果確實發(fā)現(xiàn) ?=1，就說隨機變量 Xt有一個 單位根 。 ? （ *）式可變形式成差分形式： ?Xt=(1?)Xt1+ ?t =?Xt1+ ? t (**) 檢驗 （ *） 式是否存在單位根 ?=1， 也可通過（ **） 式判斷是否有 ? =0。 一般地 : ? 檢驗一個時間序列 Xt的平穩(wěn)性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型 Xt=?+?Xt1+?t （ *） 中的參數(shù) ?是否小于 1。 或者： 檢驗其等價變形式 ?Xt=?+?Xt1+?t （ **） 中的參數(shù) ?是否小于 0 。 在第二節(jié)中將證明，（ *）式中的參數(shù) ?1或 ?=1時，時間序列是非平穩(wěn)的 。 對應(yīng)于（ **）式，則是 ?0或 ? =0。 ? 因此，針對式 ?Xt=?+?Xt1+?t 我們關(guān)心的檢驗為： 零假設(shè) H0： ?=0。 備擇假設(shè) H1： ?0 上述檢驗可通過 OLS法下的 t檢驗完成 。 然而 ， 在零假設(shè) （ 序列非平穩(wěn) ） 下 ， 即使在大樣本下 t統(tǒng)計量也是有偏誤的 （ 向下偏倚 ） ， 通常的 t 檢驗無法使用 。 Dicky和 Fuller于 1976年提出了這一情形下 t統(tǒng)計量服從的分布 （ 這時的 t統(tǒng)計量稱為 ?統(tǒng)計量 ） ， 即 DF分布 （ 見表 ） 。 由于 t統(tǒng)計量的向下偏倚性 ， 它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布 。 ? 因此，可通過 OLS法估計 ?Xt=?+?Xt1+?t 并計算 t統(tǒng)計量的值，與 DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較： 如果： t臨界值，則拒絕零假設(shè) H0： ? =0， 認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。 表 9 . 1 . 3 DF 分布臨界值表 樣 本 容 量 顯著性水平 25 50 100 500 ∝ t 分布臨界值 （ n= ∝） ? 注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。 例如：“如果計算得到的 t統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕 ρ=0”的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。 進一步的問題 ： 在上述使用 ?Xt=?+?Xt1+?t 對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗中 ， 實際上 假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程 AR(1)生成的 。 但在實際檢驗中 ， 時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的 ， 或者隨機誤差項并非是白噪聲 ， 這樣用 OLS法進行估計均會表現(xiàn)出隨機誤差項出現(xiàn)自相關(guān) （ autocorrelation） ，導(dǎo)致 DF檢驗無效 。 另外 ， 如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢 （ 如上升或下降 ） ， 則也容易導(dǎo)致上述檢驗中的 自相關(guān)隨機誤差項問題 。 為了保證 DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性 ， Dicky和Fuller對 DF檢驗進行了擴充 ， 形成了 ADF（ Augment DickeyFuller ） 檢驗 。 ADF檢驗 ADF檢驗是通過下面三個模型完成的： ? 模型 3 中的 t是時間變量 ， 代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢 （ 如果有的話 ） 。 ? 檢驗的假設(shè)都是：針對 H1: ?0,檢驗 H0： ?=0，即存在一單位根 。 模型 1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項和趨勢項 。 模型 1 ： tmiitittXXX ??? ????? ????11 （ * ） 模型 2 ： tmiitittXXX ???? ?????? ????11 （ ** ） 模型 3 ： tmiitittXXtX ????? ??????? ????11 （ *** ） ? 實際檢驗時從模型 3開始 ， 然后模型 模型 1。 何時檢驗拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時檢驗停止。否則，就要繼續(xù)檢驗，直到檢驗完模型 1為止。 檢驗原理 與 DF檢驗相同，只是對模型 3進行檢驗時，有各自相應(yīng)的臨界值。 表 ADF分布臨界值表。 表 9 . 1. 4 不同模型使用的 ADF 分布臨界值表模型 統(tǒng)計量 樣本容量 25 50 100 250 500 1??500 25 50 100 250 500 ??500 25 50 100 250 500 2??500 25 50 100 250 500 ??500 25 50 100 250 500 ??500 25 50 100 250 500 3??500 同時估計出上述三個模型的適當形式 ， 然后通過ADF臨界值表檢驗 零假設(shè) H0： ?=0。 1） 只要其中有一個模型的檢驗結(jié)果拒絕了零假設(shè) ，就可以認為時間序列是平穩(wěn)的； 2） 當三個模型的檢驗結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時 ， 則認為時間序列是非平穩(wěn)的 。 這里所謂 模型適當?shù)男问?就是在每個模型中選取適當?shù)臏蟛罘猪?， 以使模型的殘差項是一個白噪聲（ 主要保證不存在自相關(guān) ） 。 一個簡單的檢驗過程： 例 檢驗 1978~2023年間中國支出法 GDP時間序列的平穩(wěn)性 。 211 ??? ????????? tttt G D PG D PG D PTG D P （ 1 . 2 6 ） ( 1 . 9 1 ) ( 0 . 3 1 ) ( 8 . 9 4 ) ( 4 . 9 5 ) 1）經(jīng)過償試，模型 3取了 2階滯后： 通過 拉格朗日乘數(shù)檢驗 （ Lagrange multiplier test） 對隨機誤差項的自相關(guān)性進行檢驗：