jacobi迭代法_gauss-seidel迭代法(編輯修改稿)
2025-09-17 12:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 al(ydot,x(n+1),ybar))。 end 解：取h=，N=10，輸入： ydot=inline(39。yx^2+139。,39。x39。,39。y39。)。 [t,u]=Euler_ad(ydot,0,10) 得到數(shù)值結(jié)果： t = 0 u = 即采用改進的Euler法得到： u()=,u()=,u()=,u()=,u()= 求解公式為： Matlab程序： function [x,y]=Runge_Kutta4(ydot,x0,y0,h,N) % 標準四階Runge_Kutta方法 % ydot為一階微分方程的函數(shù) % x0，y0為初始條件 % h為區(qū)間步長 % N為區(qū)間個數(shù) % x為Xn構(gòu)成的向量， y為Yn構(gòu)成的向量 x=zeros(1,N+1)。y=zeros(1,N+1)。 x(1)=x0。y(1)=y0。 for n=1:N x(n+1)=x(n)+h。 k1=h*feval(ydot,x(n),y(n))。 k2=h*feval(ydot,x(n)+1/2*h,y(n)+1/2*k1)。 k3=h*feval(ydot,x(n)+1/2*h,y(n)+1/2*k2)。 k4=h*feval(ydot,x(n)+h,y(n)+k3)。 y(n+1)=y(n)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)。 end 解：取h=，N=5，輸入： ydot=inline(39。yx^2+139。,39。x39。,39。y39。)。 [t,u]=Runge_Kutta4(ydot,0,5) 得到數(shù)值結(jié)果： t = 0 u = 結(jié)果比較： t Euler法 改進Euler法 四階Runge_Kutta 精確解 由以上結(jié)果可以看出改進的Euler法較Euler法計算精度有所提高，但還不是十分精確。四階Runge_Kutta法具有非常高的精度，事實上，在求解微分方程初值問題，四階Runge_Kutta法是單步長中最優(yōu)秀的方法，通常都用該方法求解實際問題。 三、 用Newton迭代法求方程 的根時，分別取初始值 ， ； 用Newton迭代法求方程 時，分別取初始值 ， ； 算法： （1） 取初始點x0 最大迭代次數(shù)N和精度要求ε，k=0. （2）如果f’（xk）=0，則停止計算；否則計算 Xk+1=xk f（xk）/f’（xk） （3）若|xk+1 xk|ε，則停止計算。 （4）若k=N，則停止計算；否則置k=k+1，轉(zhuǎn)（2）。 Matlab程序： function [x_star,index,it]= Newton(fun,x,ep,it_max) % 求解非線性方程的Newton法 % fun（x) 為需要求根的函數(shù)，第一個分量是函數(shù)值，第二個分量是導(dǎo)數(shù)值 % fun=inline(39。[x^3x1,3*x^21]39。) 當f(x)=x^3x1。 % x為初始點 % ep為精度，缺省值為1e5 % it_max為最大迭代次數(shù)，缺省值100 % x_star為當?shù)晒r輸出方程的根，失敗時輸出最后的迭代值 % index為指標變量， index=1表示迭代成功 index=0表示失敗 % it為迭代次數(shù) if nargin4 it_max=100。end if nargin3 ep=1e5。end index=0。k=1。 while k=it_max x1=x。 f=feval(fun,x)。 if abs(f(2))ep break。 end x=xf(1)/f(2)。 if abs(xx1)ep index=1。break。end k=k+1。 end x_star=x。it=k。 解：（1）由于f(x)=arctan(x) , f’(x)= 1/1+x2 , 取初始值x0=,輸入 fun=inline(39。[atan(x),1/(1+x^2)]39。)。 [x_star,index,it]=Newton(fun,) 得到數(shù)值結(jié)果： x_star =+004 index = 0 it =7 取初始值x0=,輸入 fun=inline(39。[atan(x),1/(1+x^2)]39。)。 [x_star,index,it]=Newton(fun,) 得到數(shù)值結(jié)果： x_star =0 index = 1 it =4 輸入 x=3::3。 y=atan(x)。 plot(x,y)。xlabel(39。x39。)。ylabel(39。y39。)。 得到圖形： (2) 由于f(x)=x3x3=0, f’(x)= 3x21 , 取初始值x0=,輸入 fun=inline(39。[x^3x3,3*x^21]39。)。
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