【文章內(nèi)容簡介】 用隨機性； ?兩博弈方選擇每種策略的概率一定要恰好使對方無機可乘，即讓對方無法通過針對性地傾向某一策略而在博弈中占上風(fēng)。 ?例：在擲硬幣的博弈中，參與人 1選正面、反面的概率 q,1q， 一定要使參與人 2選正面的和反面的期望得益相等。 單純戰(zhàn)略與混合戰(zhàn)略的定義 ?G={N,S,U}是一個戰(zhàn)略式有限博弈，參與人 i的戰(zhàn)略空間 S中的任一元素 si稱為 i的一個單純戰(zhàn)略（ pure strategy）； 定義在 Si上的一個概率分布函數(shù) pi(si)代表了一個混合戰(zhàn)略（ mixed strategy） ——這個戰(zhàn)略的內(nèi)容是：參與人 i以概率 pi(sij)選擇單純戰(zhàn)略 sij， 而?pi(sij)=1。 ?單純戰(zhàn)略是混合戰(zhàn)略的特例，因為任一單純戰(zhàn)略 si都可以理解為 i以概率 1選擇 si， 以 0概率選取其他所有單純戰(zhàn)略。 ?引入混合戰(zhàn)略，參與人的目標(biāo)需要修改為“ 最大化自己的期望支付 ” Selton： 小偷和守衛(wèi)的博弈 一小偷欲偷竊有一守衛(wèi)看守的倉庫，如果小偷偷竊時守衛(wèi)在睡覺，則小偷就能得手，偷得價值為 V的贓物；如果小偷偷竊時守衛(wèi)沒有睡覺，則小偷就會被抓住。設(shè)小偷被抓后要坐牢，負(fù)效用為 P， 守衛(wèi)睡覺而未遭偷竊有 S的正效用，因睡覺被竊要被解雇，其負(fù)效用為 D。 而如果小偷不偷，則他既無得也無失，守衛(wèi)不睡意味著出一份力掙一分錢，他也沒有得失。 睡 不睡 偷 V， D P， 0 不偷 0， S 0， 0 小偷 守衛(wèi) 支付 小偷與守衛(wèi)的博弈 守衛(wèi)得益（睡） S 0 1 pt（ 小偷偷的概率） pt* pt*/ D D/ 小偷的混合策略 S到 D連線的縱坐標(biāo)是在橫坐標(biāo)對應(yīng)的小偷“偷”竊概率下的守衛(wèi)選擇“睡 ”的期望得益，即 S(1pt)+(D)pt 加重對守衛(wèi)的處罰在短期中的效果是使守衛(wèi)真正盡職，但在長期中恰恰是會降低盜竊發(fā)生的概率（激勵的悖論） 小偷得益（偷） V 0 1 Pg（ 守衛(wèi)睡的概率） Pg* Pg*/ P P/ 守衛(wèi)的混合策略 小偷的混合策略分布不受 P的影響，因此政府加重對小偷的懲罰在長期中并不能抑制盜竊，最多只能抑制短期的盜竊發(fā)生率，它的作用主要是使守衛(wèi)可以更多地偷懶 齊威王田忌賽馬 ?古代齊威王與大將田忌賽馬，田忌的謀士孫臏運用計謀幫助田忌以弱勝強。 ?比賽規(guī)則：田忌與齊威王各出三匹馬，一對一比賽三場，每一場的輸方要賠 1000斤銅給贏方。雙方的馬按實力都可以分為上、中、下，但齊威王的上、中、下均優(yōu)于田忌的上、中、下。實際上，田忌的上馬、中馬要優(yōu)于齊威王的中馬、下馬。 ?比賽結(jié)果：田忌連輸三場；后孫臏建議，以上對中、以中對下、以下對上，結(jié)果以 2： 1贏得比賽。 ?前述為單方面運用策略的故事，如果齊威王預(yù)料到田忌的做法，必然會改變各匹馬出場的次序。 ?本博弈中博弈雙方的利益是完全對立的，是嚴(yán)格競爭的零和博弈，不會有純策略納什均衡，必然是一個混合策略均衡。 ?假設(shè)齊威王采取六種戰(zhàn)略的概率分別為pa,pb,pc,pd,pe,pf（ 加總為 1） ,則田忌采取六種戰(zhàn)略的期望得益相等，則得出齊威王與田忌均以 1/6的相同概率隨機選擇各自的六個純策略，構(gòu)成本博弈唯一的混合策略納什均衡。 齊威王田忌賽馬 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上 上中下 3， 3 1， 1 1， 1 1， 1 1， 1 1， 1 上下中 1， 1 3， 3 1， 1 1， 1 1， 1 1， 1 中上下 1， 1 1， 1 3， 3 1， 1 1， 1 1， 1 中下上 1， 1 1， 1 1， 1 3， 3 1， 1 1， 1 下上中 1， 1 1， 1 1， 1 1， 1 3， 3 1， 1 下中上 1， 1 1， 1 1， 1 1， 1 1， 1 3， 3 齊威王 田忌 齊威王田忌賽馬 齊威王田忌賽馬 在上述混合策略下，齊威王的期望得益為 1/6（ 3+1+1+1+11） =1；田忌的期望得益為 1/6（ 131111） =1，即多次進(jìn)行這樣的賽馬，齊威王平均每次能贏田忌 1000斤銅，這是因為齊威王三匹馬的總體實力略勝田忌三匹馬總體實力的緣故 混合策略反應(yīng)函數(shù) ?將博弈方的策略空間擴展到包括混合策略，將納什均衡擴展到包括混合策略納什均衡以后，求納什均衡反應(yīng)函數(shù)的分析方法也可以擴展到求混合策略納什均衡。 ?反應(yīng)函數(shù)即一博弈方對另一博弈方每種可能的決策內(nèi)容的最佳反映決策構(gòu)成的函數(shù)。在純策略的范疇內(nèi)，反應(yīng)函數(shù)是各博弈方選擇的純策略對其他博弈方純策略的反應(yīng)。在混合策略的范疇內(nèi)，博弈方的決策內(nèi)容為選擇概率分布，反應(yīng)函數(shù)就是一方對另一方的概率分布的反應(yīng)。 擲硬幣 1， 1 1， 1 反面 1， 1 1， 1 正面 反面 正面 1 2 支付 q 1q 1p p p q 0 1/2 1 1 1/2 p1=f(q) q2=f(p) 當(dāng) 2出正面的概率 q?1/2， 1出正面的概率為 1，因為他出正面得到的預(yù)期收益大于他出反面；當(dāng) 2出正面的概率 q?1/2， 1出正面的概率為 0，因為他出反面的期望收益大于他出正面。 第五節(jié) 納什均衡的存在性與多重性 混合戰(zhàn)略納什均衡 純戰(zhàn)略納什均衡 重復(fù)剔除占優(yōu)均衡 占優(yōu)均衡 不同均衡概念之間的關(guān)系 ?納什均衡的存在性 每個有限戰(zhàn)略式博弈（參與人與戰(zhàn)略數(shù)目均為有限）都有納什均衡存在，這均衡有可能是混合戰(zhàn)略均衡 ?納什均衡的多重性 納什均衡不唯一，如性別戰(zhàn) 案例 性別戰(zhàn) 1， 3 0， 0 足球 0， 0 2， 1 時裝 足球 時裝 妻子 支付 p 1p q 1q 丈夫 性別戰(zhàn)：混合策略均衡 ?給定妻子分別以 q,1q的概率選擇時裝、足球，則丈夫選擇時裝、足球的期望收益相等，即+0.(1q)=+3.(1q)， 解得妻子選擇時裝、足球的概率分別為（ 3/4， 1/4） ?給定丈夫分別以 p,1p的概率選擇時裝、足球，則妻子選擇時裝、足球的期望收益相等，即+0.(1p)=+1.(1p)， 解得妻子選擇時裝、足球的概率分別為（ 1/3， 2/3） ?當(dāng)妻子以（ 3/4， 1/4）的概率分布隨機選擇時裝表演和足球，丈夫以（ 1/3， 2/3）的概率隨機選擇時裝表演和足球時，雙方都無法通過單獨改變策略，即單獨改變隨機選擇純策略的概率分布而提高利益，因此雙方的上述概率分布的組合構(gòu)成一個混合策略納什均衡。 ?該混合策略納什均衡給妻子和丈夫各自帶來的期望收益分別為： +q.(1p).0+(1q).+(1q).(1p).1=2/3。 +q.(1p).0+(1q).+(1q).(1p).3=3/4 ?雙方的期望收益均小于純策略時的期望收益。 性別戰(zhàn)：混合策略均衡 q p 0 1/3 1 1 3/4 q1=f(p) p2=f(q) 夫妻之爭兩博弈方的反應(yīng)函數(shù) 如果 p?1/3， 則妻子選擇時裝的期望得益小于選擇足球 ， 因此妻子應(yīng)選擇足球，即 q=0； 如果 p?1/3， 則妻子選擇時裝的期望得益為大于選擇足球的得益，因此選時裝，即 p=1 焦點均衡 （ focal point） ?當(dāng)一個博弈有多個納什均衡時，博弈論并沒有一個一般的理論來證明納什均衡結(jié)果一定會出現(xiàn)。 ?在現(xiàn)實生活中，參與人可能使用某些被博弈模型抽象掉的信息來達(dá)到一個 “ 焦點 ” 均衡。這些信息可能與社會文化習(xí)慣、參與人過去博弈的歷史有關(guān)。 ?例，在性別戰(zhàn)中，如果今天是丈夫的生日，（足球、足球）可能是一個焦點均衡；而如果是妻子的生日，（時裝、時裝）可能是一個焦點均衡。 ?還有分蛋糕等。 課堂練習(xí)：求納什均衡 2， 4 0， 0 音樂會 1， 1 4， 2 足球 音樂會 足球 男方 女方 支付 p 1p q 1q 市場進(jìn)入阻撓 0， 300 0， 300 不進(jìn)入 10， 0 40， 50 進(jìn)入 斗爭 默許 進(jìn)入者 在位者 支付 威脅是可置信的嗎？ 作業(yè) 1 春節(jié)前夕，某小鎮(zhèn)上兩個商鋪主甲和乙同時看到一個賺錢機會：去城里販一批鞭炮回來零售，購貨款加上運輸費用共 5000元，如果沒有競爭對手，這批貨在小鎮(zhèn)上能賣 6000元；但如果另一家商鋪同時在小鎮(zhèn)上賣鞭炮，價格下跌使得這批鞭炮只能賣 4000元。請用戰(zhàn)略式表示支付矩陣；請找出納什均衡。 作業(yè)二 2， 0 1， 1 4， 2 3， 4 1， 2 2， 3 1， 3 0， 2 3， 0 乙 左 中 右 上 中 下 甲 一個兩人同時博弈的支付競爭如下所示，試求納什均衡。是否存在重復(fù)剔除占優(yōu)戰(zhàn)略均衡？ 第二章 完全信息動態(tài)博弈 博弈的擴展式表述 子博弈精煉納什均衡 子博弈精煉納什均衡舉例 重復(fù)博弈和無名氏定理 第一節(jié) 博弈的擴展式表述 完全信息動態(tài)博弈 一般以擴展型式來表示： G=(N,H,P,I,U)， 包括 5要素： （ 1）局中人 N； （ 2）歷史 H:博弈樹是一個多環(huán)節(jié)與枝干的集合，從單一的起始環(huán)節(jié)，直到終結(jié)環(huán)節(jié)，代表博弈歷史； （ 3）對每個環(huán)節(jié)的分配法則 P:將每個環(huán)節(jié)（除終結(jié)環(huán)節(jié)外）分配給不同的局中人，并賦予行動時可選的策略； （ 4）局中人行動時的信息集合 I； （ 5） 對應(yīng)局中人可能選擇策略，各局中人在終結(jié)環(huán)節(jié)所得到的報酬 U。 1 2 2 L L S S L S （ 2， 2） （ 1， 1） （ 1， 1） （ 1， 1） 戰(zhàn)略式表述(strategic form representation)多用矩陣 2,2 1,1 1,1 1,1 2 L S L S 1 擴展式表述(extensive form representation)多用博弈樹 戰(zhàn)略式與擴展式 3 ， 3 3 ， 3 1 ， 0 1 ， 0 0 ， 1 0 ， 0 0 ， 1 0 ， 0 A B （進(jìn)入，進(jìn)入） 進(jìn)入 不進(jìn)入 （進(jìn)入，不進(jìn)入） （不進(jìn)入，進(jìn)入） （不進(jìn)入，不進(jìn)入） 市場進(jìn)入博弈的標(biāo)準(zhǔn)式 進(jìn)入 不進(jìn)入 A B B 進(jìn)入 不進(jìn)入 不進(jìn)入 進(jìn)入 收益： A B 3 ， 3 1 ， 0 0 ， 1 0 ， 0 市場進(jìn)入的擴展式 在市場進(jìn)入博弈中： A有兩個行動：“進(jìn)入”、“不進(jìn)入”。 由于是先行動者，只有兩個戰(zhàn)略：選擇“進(jìn)入”或“不進(jìn)入”。 B有兩個行動：“進(jìn)入”、“不進(jìn)入”。 但是，有 4個戰(zhàn)略： (1)若 A選擇“進(jìn)入”， B選擇“進(jìn)入”，若 A選擇“不進(jìn)入”， B選擇“進(jìn)入”，即 （進(jìn)入，進(jìn)入） (2)若 A選擇“進(jìn)入”， B選擇“進(jìn)入”，若 A選擇“不進(jìn)入”， B選擇“不進(jìn)入”，即 （進(jìn)入，不進(jìn)入） (3)若 A選擇“進(jìn)入”， B選擇“不進(jìn)入”，若 A選擇“不進(jìn)入”， B選擇“不進(jìn)入”，即 （不進(jìn)入，進(jìn)入） (4)若 A選擇“進(jìn)入”， B選擇“不進(jìn)入”，若 A選擇“不進(jìn)入”， B選擇“不進(jìn)入”，即 （不進(jìn)入，不進(jìn)入） 博弈樹的構(gòu)成 1．結(jié) (nodes)： 結(jié)包括決策結(jié) (decition nodes)和終點結(jié) (terminal nodes)兩類。決策結(jié)是參與人采取行動的時點，終點結(jié)是博弈行動路徑的終點。 在博弈樹中，“誰在什么時候行動”用在決策結(jié)旁邊標(biāo)注參與人的辦法來表示。參與人的支付標(biāo)注在博弈樹終點結(jié)處。 2．枝 (branches)： 在博弈樹上，枝是從一個決策結(jié)到它的直接后續(xù)結(jié)的連線，每一個枝代表參與人的一個行動選擇。 3．信息集 (information sets)： 博弈樹上的所有決策結(jié)分割成不同的信息集。每一個信息集是決策結(jié)集合的一個子集。該子集包括所有滿足下