點(diǎn)圓學(xué)案第1234節(jié)(編輯修改稿)
2025-08-31 18:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 心對(duì)稱性及“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”性質(zhì)；3．會(huì)運(yùn)用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：理解圓的中心對(duì)稱性及“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”性質(zhì)。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：運(yùn)用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。一、知識(shí)準(zhǔn)備：1．圓是軸對(duì)稱圖形，________ _是它的對(duì)稱軸，圓有_______條對(duì)稱軸。2．在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) ，如果旋轉(zhuǎn)前后圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心。3．我們采用什么方法研究中心對(duì)稱圖形?二、學(xué)習(xí)內(nèi)容：，分別作等圓⊙O和⊙O’，把兩張紙疊在一起，使⊙O和⊙O’重合，然后固定圓心。將其中一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，兩個(gè)圓還能重合嗎？結(jié)論：利用旋轉(zhuǎn)的方法可得到：一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能與原來(lái)的圖形 ，我們把這個(gè)性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)不變性。 特別地，一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)180176。，也能與原來(lái)的圖形 ，因此，圓是 對(duì)稱圖形， 為圓心。2．探究圓心角、弧、弦、弦心距四個(gè)量之間的關(guān)系。按照下列步驟進(jìn)行操作：（1）在等圓⊙O和⊙O’中,分別作相等的圓心角∠AOB、∠A’O’B’，連接AB、A’B’，過(guò)圓心分別作OC⊥AB于C，O’C’⊥A’B’于C’ ；注意：從圓心到弦的距離叫做弦心距，如OC 、O’C’的長(zhǎng)分別是弦 AB、A’B’的弦心距。（2）將兩張紙片疊在一起，使⊙O與⊙O’重合；（3）固定圓心，將其中一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度，使得OA與OA’重合。在操作的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些等量關(guān)系，你能得出什么結(jié)論（或命題），請(qǐng)與同學(xué)交流.在滿足條件 時(shí)，存在的等量關(guān)系是 。你得出的結(jié)論是：___________________ ____________________________ （4）請(qǐng)閱讀并理解下面的推理過(guò)程。已知：如圖，在⊙O中,圓心角∠AOB=∠A’OB’ ，OC⊥AB于C，OC’⊥A’B’于C’求證： 證明：把∠AOB連同繞圓心0旋轉(zhuǎn) ，使半徑OA與OA’重合。∵∠AOB=∠A’OB’∴半徑OB與OB’重合∵點(diǎn)A與點(diǎn)A’重合，點(diǎn)B與點(diǎn)B’重合，OC⊥AB，OC’⊥A’B∴∴（5）總結(jié)：圓心角、弧、弦、弦心距四個(gè)量之間的關(guān)系。定理： 該定理的條件是： 該定理的結(jié)論是： ①在同圓中： ②在等圓中：幾何圖形語(yǔ)言： 幾何圖形語(yǔ)言： 幾何符號(hào)語(yǔ)言： 幾何符合語(yǔ)言：∵ ∵∴ ∴（6）下列命題是真命題嗎？①在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓心角、兩條弦、兩條弦的弦心距分別相等.②在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦的弦心距分別相等.③在同圓或等圓中，如果兩條弦的弦心距相等，那么這兩條弦的弦心距所對(duì)應(yīng)的兩條弦、兩個(gè)圓心角、兩條弧分別相等.（7）總結(jié)：“圓心角、弧、弦、弦心距四個(gè)量之間的關(guān)系”定理的推論：。定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有 組量相等，那么它們所 的其余各組量都分別相等。：如圖，已知⊙O、⊙O’半徑相等，AB、CD分別是⊙O、⊙O’的兩條弦：（1）若AB=CD，則 ；（2）若，則 ；（3）若∠AOB=∠CO’D，則 ； （4）若 ，則AB=CD， ，∠AOB=∠CO’D，AB、CD是⊙O的兩條弦：（1）若AB=CD，則 ， （2）若，則 ， （3）若∠AOB=∠CO’D，則 ， （4）若 ，則AB=CD， ，∠AOB=∠CO’D，在圓心角、弧、弦這三個(gè)量中，角的大小可以用度數(shù)刻畫，弦的大小可以用長(zhǎng)度刻畫，那么如何來(lái)刻畫弧的大小呢？弧的大小用長(zhǎng)度或度數(shù)刻化。（1）弧的長(zhǎng)度：類似于線段的長(zhǎng)度（2）弧的度數(shù)： 我們知道，把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時(shí)，每一份的圓心角是 176。的角，因?yàn)橥瑘A中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所以整個(gè)圓也被等分成360份，我們把每一份這樣的弧叫做1176。的弧。由上述定義可知，1176。的圓心角對(duì)著1176。的弧，1176。的弧對(duì)著1176。的圓心角，一般的n176。的圓心角對(duì)著n176。的弧，n176。的弧對(duì)著n176。的圓心角，也就是說(shuō)，圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等。請(qǐng)自己畫出圖形理解：弧的度數(shù)：圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等。注意：在表示弧的度數(shù)時(shí)，一般要寫出“度數(shù)”兩個(gè)字，如：三、知識(shí)應(yīng)用，使得所畫圖形滿足下列條件：（1）是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形；（2）既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形。,在⊙O中, ,∠1=30176。,則∠2=__________3. 一條弦把圓分成1：3兩部分，則劣弧所對(duì)的圓心角為_(kāi)_______。4. ⊙O中，直徑AB∥CD弦，則∠BOD=______。5. 在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)恰好等于半徑，弦AB所對(duì)的圓心角為 ，AB是直徑，＝＝，∠BOC＝40176。，∠AOE的度數(shù)是 。，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC，∠ABC與∠BAC相等嗎？為什么？四、知識(shí)梳理： 中，如果兩個(gè) 、兩條 、兩條 或兩條弦的 中有一組量相等，那么它們所 的其余各組量都分別相等。 相等。五、鞏固練習(xí)：？為什么？如圖，因?yàn)椤袿中，∠AOB=∠A’OB’，根據(jù)圓心角、弧、弦、弦心距關(guān)系定理可知，.，分別有，若它們的度數(shù)相等，下列結(jié)論正確嗎？（1） （2）所對(duì)的圓心角和所對(duì)的圓心角相等。，A、B、C、D是⊙O上的四點(diǎn)， AB=CD. 求證：（1）AC=BD. （2）△ABC≌△DCB，已知AB、CD為⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB，的度數(shù)為40176。，（1）求∠BOD ； （2）求證：點(diǎn)A為的中點(diǎn)。5. ⊙O中，弦AB所對(duì)的劣弧為圓的，圓的半徑為2cm，求AB的長(zhǎng)。：A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOB=120176。，C為的中點(diǎn)。試確定四邊形OACB的形狀，并說(shuō)明理由。，點(diǎn)0是∠EPF的角平分線上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓和角的兩邊分別交于點(diǎn)A、B和C、D。求證：AB=CD。8. ⊙O中，AB、CD是兩條弦，OF⊥AB，OG⊥CD,垂足分別為F、G.（1）若∠AOB=∠COD，則OF與OG的大小有什么關(guān)系？為什么？（2）若OF=OG，則AB與CD的大小有什么關(guān)系？的大小有什么關(guān)系？∠AOB與∠COD呢？為什么？方法總結(jié)：（1）在解決與弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常過(guò)圓心向弦作垂線，借助“垂徑定理”來(lái)解決；（2）在解決與弧、圓心角有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常作出過(guò)弧的端點(diǎn)的半徑，借助“圓心角、弧、弦、弦心距關(guān)系定理”來(lái)解決。
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