第八章圓錐曲線的方程(編輯修改稿)
2025-07-26 16:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 0，)，所以，a＝b＝，雙曲線的方程為． …………4分⑵ 直線l：y＝k(x－)，(0＜k＜1)．依題意設B點在與l平行的直線l39。上，且l與l39。間的距離為，設直線l39。：y＝kx＋m，則＝，即m2＋2km＝2 ① …………6分把l39。代入雙曲線方程得：(k2－1)x2＋2mkx＋m2－2＝0∵ 0＜k＜1，∴ k2－1≠0． ∴ △＝4(m2＋2k2－2)＝0，即m2＋2k2＝2 ②……8分解①②，得m＝，k＝． ……10分此時，x＝2，y＝，所以B(2，)． …………12分1（本題滿分12分）已知：如圖，雙曲線，B是右焦點，F(xiàn)是左頂點，點A在軸正半軸上，且滿足成等比數(shù)列，過F作雙曲線C，在第一，第三象限的漸近線的垂線，垂足是。（1）求證：；（2）若與雙曲線的左、右兩支分別相交于點D、E，求雙曲線的離心率的取值范圍。{1解：（1）證法一： 解得∵成等比數(shù)列 ∴ ∴，∴， ∴證法二：同上得， ∴軸，∴{（2） ∴ 即 ∵ ∴即 ∴（本題主要考查圓錐曲線和向量知識的綜合運用，將解析幾何的問題與平面向量的問題有機地結(jié)合起來，進一步考查綜合解題的年能力）17．(本題滿分12分)已知點N（1，2），過點N的直線交雙曲線于A、B兩點，且 （1）求直線AB的方程； （2）若過N的直線l交雙曲線于C、D兩點，且，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？1【思路分析】：（1）設直線AB：代入得 （＊）……………2’ 令A（x1，y1），B（x2，y2），則xx2是方程的兩根 ∴ 且 ……………………………3’ ∵ ∴ N是AB的中點 ∴ ………4’ ∴ k = 1 ∴AB方程為：y = x + 1 ……………6’ （2）將k = 1代入方程（＊）得 或 ……………7’ 由得， ∴ ， ……………………………………………………8’ ∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直線方程為 即代入雙曲線方程整理得 ………9’ 令，及CD中點 則， ∴， |CD| =， ，即A、B、C、D到M距離相等 ∴ A、B、C、D四點共圓 12分18．（12分）設R，i，j為直角坐標系的單位向量，a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，|a|+|b|=8（1）求動點M（x，y）的軌跡C的方程（2）過A（0，3）作直線L與曲線C交于A、B兩點，若是否存在直線L使得OAPB為矩形，若存在，求出直線L的方程，若不存在，說明理由18．解（1）∵a=xi+（y+2）j b=xi+（y+2）j |a|+|b|=8∴動點M（x，y）是到定點F1（0，－2），F(xiàn)2（0，2）的距離之和8∴曲線C的軌跡方程為（2）直線L過N（0，3），若L是y軸，則A，B是橢圓的頂點∵=+=0，∴P與O重合與OAPB為矩形矛盾∴直線L的斜率存在，設L：y=kx+3 A（x1，y1）B（x2，y2）由得（4+3k2）x2+8kx－21=0∵△=64k2+845（4+3k2）＞0恒成立∴由韋達定理得x1+x2= x1x2=∵=+ ∴OAPB是平行四邊形若存在L，使它為矩形，則⊥ 即=0 ∴x1x2+y1y2=0即（
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