極值理論在風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度量中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-20 16:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 上界有下界的分布，Weibull分布用來描述極值分布有上界，無下界的分布，Gumbel分布用來描述極值無上界也無下界的分布。我們通常見到的很多分布函數(shù)都可以根據(jù)他們尾部的狀況劃分到上面的三種極值分布分布中去，例如：學(xué)生分布、帕累托分布（Pareto distribution）、對數(shù)Gamma分布、Cauchy distributed根據(jù)尾部特征可以劃分到Frechet分布中去；均勻分布和Beta分布的尾部分布可以收斂到Weibull分布；正態(tài)分布、Gamma分布和對數(shù)正態(tài)分布的尾部分布都收斂到Gumbel分布。 圖形1：標(biāo)準(zhǔn)Frechet、Weibull和Gumbel分布圖但是，在實(shí)際應(yīng)用中對于一個(gè)給定得極值序列，我們應(yīng)該如何在這三種極值分布中做出選擇呢。一種理想的方法是通過參數(shù)的形式把三種極值分布統(tǒng)一的表示成一個(gè)分布函數(shù)，這樣我們就可以在利用最大似然估計(jì)的時(shí)候，把該參數(shù)也一塊估計(jì)出來，讓數(shù)據(jù)去決定它們的選擇，這將極大的增加模型估計(jì)的準(zhǔn)去性。這里我們采用 Jenkinson and Mises 的方法，把三種分布表示成如下單參數(shù)的形式： （11）其中，這一表達(dá)形式也被稱為廣義極值分布函數(shù)（Generalized extreme value distribution），當(dāng)時(shí)，表示Frechet分布，當(dāng)時(shí)，表示weibull分布，當(dāng)時(shí)表示Gumbel分布。 在定理1的基礎(chǔ)上，對于給定一個(gè)金融資產(chǎn)的殘差序列，我們就可以首先分組求最大值得到的極值序列記為。為了表達(dá)上的簡潔，用和代替公式（11）中的和，則可以序列的近似分布函數(shù)： （12）其中。然后，我們要對參數(shù)進(jìn)行最大似然估計(jì)，這需要得到隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，通過概率分布函數(shù)（12）對求導(dǎo)，我們得到隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)： （13）其中。通過似然函數(shù)就可以得到各參數(shù)的估計(jì)值： （14）在各參數(shù)估計(jì)值給定的基礎(chǔ)上，我們就可以利用極值分布函數(shù)計(jì)算不同下的分位數(shù)值，如用表示這一分位數(shù)，則在個(gè)周期內(nèi)出現(xiàn)的極值收益會超過這一閥值的預(yù)期數(shù)量有且僅有一次。 表達(dá)形式為： （15）注：關(guān)于參數(shù)的置信區(qū)間的確定我們在后面給出其計(jì)算方法。 POT模型的理論基礎(chǔ)假設(shè)序列的分布函數(shù)為，定義為隨機(jī)變量超過門值的條件分布函數(shù)，它可以表示為： （16）根據(jù)條件概率公式我們可以得到： （17）定理2：（Pickand (1975), Balkema and de Haan (1974)）對于一大類分布（幾乎包括所有的常用分布）條件超量分布函數(shù)，存在一個(gè)使得： （12）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。分布函數(shù)被稱作廣義的Pareto分布。圖2：廣義Pareto分布在，0，從圖形上我們可以看到的不同取值確定了尾部的厚度，越大則尾部越厚，越小尾部越薄，從函數(shù)我們還可以得到當(dāng)時(shí)，的最大取值為，有上界。Lee and Saltoglu（2003）在金融資產(chǎn)收益時(shí)間序列上直接使用EVT時(shí)，由于序列的尖峰后尾，使得確定出來的一定是大于零的，但是在我們的模型中，我們對殘差序列進(jìn)行極值分析，因此我們得到的不一定大于零。根據(jù)公式（12）我們可以得到廣義的Pareto分布的概率密度函數(shù)：因此對于給定的一個(gè)樣本，對數(shù)似然函數(shù)可以表示為： （13）在POT模型中另一個(gè)重要的問題，那就是如何確定我們定理2中的閥值，它的確定非常重要，它是正確估計(jì)參數(shù)和的前提。如果閥值選取的過高，會導(dǎo)致超額數(shù)據(jù)量太少，使估計(jì)出來的參數(shù)方差很大；如果閥值選取的過低，則不能保證超量分布的收斂性，使估計(jì)產(chǎn)生大的偏差。Danielsson et al（1997）、de Vries（1997）和Dupuis（1998）給出了對閥值的估計(jì)方法，一般有兩種：一是根據(jù)Hill圖，令表示獨(dú)立同分布的順序統(tǒng)計(jì)量。尾部指數(shù)的Hill統(tǒng)計(jì)量定義為：Hill圖定義為點(diǎn)構(gòu)成的曲線，選取Hill圖形中尾部指數(shù)的穩(wěn)定區(qū)域的起始點(diǎn)的橫坐標(biāo)K所對應(yīng)的數(shù)據(jù)作為閥值。二是根據(jù)樣本的超額限望圖，令，樣本的超限期望函數(shù)定義為： （14）超限期望圖為點(diǎn)構(gòu)成的曲線，選取充分大的作為閥值，它使得當(dāng)時(shí)為近似線性函數(shù)。另外，如果超限期望圖當(dāng)時(shí)是向上傾斜的，說明數(shù)據(jù)遵循形狀參數(shù)為正的GPD分布，如果超限期望圖當(dāng)時(shí)是向上傾斜的，說明數(shù)據(jù)來源于尾部較短的分布，如果如果超限期望圖當(dāng)時(shí)是水平的，則說明該數(shù)據(jù)來源于指數(shù)分布。這一判斷方法是根據(jù)廣義Pareto分布在參數(shù)的時(shí)候，它超限期望函數(shù)是一個(gè)線性函數(shù)。 （15）注：因?yàn)閷τ趶V義Pareto分布只存在階矩，如果則存在一階矩，否則一階矩將不存在，就沒有辦法計(jì)算超限期望函數(shù)。當(dāng)確定以后，；利用的觀測值，根據(jù)公式（13）進(jìn)行最大似然估計(jì)得到和。同時(shí)，我們得到的觀測值中比閥值大的個(gè)數(shù)，記為，根據(jù)公式（17）用頻率代替的值，可以得到在時(shí)的表達(dá)式： （16）對于給定某個(gè)置信水平，可以由的分布函數(shù)公式（15）可以得到： （17）根據(jù)GPD的條件分布函數(shù)公式（15）可以得到： （18） 序列的和置信區(qū)間的估計(jì)方法：通常，對于參數(shù)置信區(qū)間的估計(jì)方法，在大樣本的情況下我們可以從似然比率檢驗(yàn)（Likelihood Ratio Test）的思路中獲到。似然比率檢驗(yàn)用來檢驗(yàn)兩個(gè)同類型模型的擬和程度的好壞。兩個(gè)同類型模型的似然比率符合分布，它的自由度等于復(fù)雜模型中新加入的參數(shù)的個(gè)數(shù)。以POT模型為例，要估計(jì)參數(shù)和在給定置信水平下
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