【文章內(nèi)容簡介】 入平面L透鏡L和輸出平面L2所組成，透鏡L的焦距為f，透鏡距離分數(shù)傅里葉輸入平面和輸出平面的距離均為d。所有參數(shù)滿足下列關(guān)系： (225) 由公式可知，當透鏡焦距f已知，只要適當調(diào)整距離參數(shù)d便可以實現(xiàn)某一階數(shù)的分數(shù)傅里葉變換。1966年，聯(lián)合變換相關(guān)方法被提出，之后這種方法由于實時光電轉(zhuǎn)換器件的不斷發(fā)展而被注入新鮮元素，帶來新的活力。近年來，越來越多的研究學者投入到有關(guān)的研究活動中，這一研究趨勢使得聯(lián)合變換相關(guān)器(JTC)成為研究模式識別的一種非常重要的手段。聯(lián)合變換相關(guān)識別技術(shù)與匹配空間濾波相關(guān)識別無論是在原理還是方法上都有所不同。在上述聯(lián)合變換相關(guān)識別方法中，同時將參考圖像以及待識別圖像放在已知的輸入平面上，并且對稱放在光軸的兩側(cè)，然后將其干涉功率譜記錄在傅里葉平面上。如果對頻譜圖像進行傅里葉變換，則在輸出平面上可以得到自相關(guān)和互相關(guān)輸出，圖21是聯(lián)合變換相關(guān)的原理[12]圖。P3圖23聯(lián)合相關(guān)變換原理設輸入面上依次并排放著目標圖像和參考圖像和，則最終的輸入函數(shù)為： (222)經(jīng)透鏡進行傅里葉變換之后，其最終輸出的聯(lián)合頻譜為： (223)式中，分別為，的傅里葉變換。在平面上的記錄介質(zhì)，例如全息干板，在本實驗中創(chuàng)新性的利用了空間光調(diào)制器（SLM）代替了全息干板。它作為振幅調(diào)制器件，僅對光照強度敏感，并且當光強產(chǎn)生變化時其具有較強的響應，則： (224)在SLM處于純振幅而非其他調(diào)制的狀態(tài)下，并將透過率函數(shù)中的均勻偏置和比例系數(shù)忽略，再利用單位振幅的平面波讀出，則經(jīng)過透鏡的逆傅里葉變換后，在輸出平面得到： (225)式中，符號☆和*分別代表相關(guān)運算和卷積運算。前兩項表示和的分別自相關(guān)運算，并且位于輸出平面的中心；后兩項表示和的互相關(guān)，其中心位于（）處，因此，該實驗結(jié)果為：如果目標圖像和參考圖像越相似，一級譜就越明顯；反則，一級譜越弱。 本章小結(jié)本章主要介紹了傳統(tǒng)傅里葉和分數(shù)傅里葉變換的主要定義式、性質(zhì)以及光學實現(xiàn)方法，也詳細介紹了聯(lián)合變換的相關(guān)性識別，這些理論基礎在研究光學圖像加密的過程中具有重要的意義。尤其是聯(lián)合變換相關(guān)器在解密過程中發(fā)揮重要的作用，在驗證考察圖像加密方法安全性中具有重要作用。第3章 基于分數(shù)傅里葉變換的圖像加密第3章 基于分數(shù)傅里葉變換的圖像加密到目前為止，關(guān)于圖像加密的算法有很多，主要包括分數(shù)傅里葉變換、雙隨機相位編碼、基于分數(shù)傅里葉變換的聯(lián)合變換技術(shù)[11]、混沌加密等。加密技術(shù)朝著更加安全、可靠、高效的方向發(fā)展，為人們和國家的發(fā)展帶來了便利。本章節(jié)在介紹、分析分數(shù)傅里葉和雙隨機相位編碼加密技術(shù)基礎之上進一步提出雙圖像加密算法，并設計出對應原理圖以及光學裝置圖。早在1995年Javidi與Refregier提出雙隨機相位編碼加密技術(shù)[2]。該方法的提出，主要是由于圖像的頻譜信息分布不均勻，但是其低頻部分分布較為集中，密度較大，盜竊者會根據(jù)低頻的分布情況恢復出原始圖像。因此，Javidi與Refregier二人，便通過使用雙隨機相位編碼技術(shù)打亂較低頻譜的分布情況，使其更加均勻化，從而提高圖像安全性。該種加密算法的實現(xiàn)主要是基于4f系統(tǒng)，通過把兩塊統(tǒng)計無關(guān)的隨機相位掩模分別置于系統(tǒng)的輸入平面和傅里葉頻譜平面，分別對原始圖像的空間以及頻譜信息進行隨機相位編碼，最后在輸出的平面上得到經(jīng)統(tǒng)計無關(guān)的白色噪聲。其光路圖如下：圖31 雙隨機相位編碼圖，函數(shù)f(x,y)、q(x,y)分別表示原始圖像和加密圖像，函數(shù) 和 是二維均勻分布隨機數(shù)組,其取值范圍為[0,1] ，并且這兩個數(shù)組是相互獨立的。因此，和便可產(chǎn)生分布在[0,2]區(qū)間范圍內(nèi)的相位掩膜板。假設（x,y）為時域坐標，（u,v）為頻域坐標。則在P2面上的輸出為： (31)在P3面上的輸出函數(shù)表達式為： (32)式中，h(x,y)表示，原始圖像在P2平面上的頻譜逆傅里葉變換函數(shù)。解密過程是加密過程的逆過程，其光路圖如下：圖32 雙隨機相位編碼解密過程圖則在P2面上的輸出函數(shù)為： (33)在P3面上的輸出函數(shù)表達式為： (34) 分數(shù)傅里葉加密算法雙隨機相位編碼技術(shù)逐漸被越來越多的人群所接受，與此同時更多的研究學者紛紛投入到基于雙隨機相位編碼加密技術(shù)的研究上來，尋求更加安全、快速的加密方法。因此，[13]，開創(chuàng)了基于分數(shù)傅里葉加密技術(shù)的先河，具有里程碑的意義。我們將分數(shù)傅里葉變換定義[13]為：(35)式中為分數(shù)傅里葉變換的變換階次,為相位常量項,，由于分數(shù)傅里葉變換可以利用由幾個透鏡組合而成的光學系統(tǒng)來實現(xiàn),因而被廣泛應用于光學信息處理研究中。光學實現(xiàn)的簡單框圖如圖33所示： 圖33分數(shù)傅里葉變換加密過程該輸入圖像函數(shù)為,兩個隨機相位掩膜分別是和，其中和分別代表均勻分布在的獨立的白光噪音，這里代表相應的空間域，代表相應的頻譜域。圖像相位編碼在數(shù)學上通過以下兩個步驟來實現(xiàn)：首先，用相位掩膜乘以輸入圖像函數(shù),而后進行級次為的分數(shù)傅里葉變換后乘以隨機相位函數(shù)得 (36)再經(jīng)級次為的分數(shù)傅里葉變換得 (37)當時，基于分數(shù)傅里葉變換的雙相位編碼就變成了傳統(tǒng)的雙相位編碼。其解密過程的光路圖見圖34： 圖34 分數(shù)傅里葉解密過程為了將初始圖像恢復，保密圖像需要先進行級次為的分數(shù)傅里葉變換，然后用解碼相位掩膜c波。在數(shù)學上表示為 (38)再次進行級次為分數(shù)傅里葉變換以后，從而在輸出面上被恢復。如果為復函數(shù)，則完全恢復還學要用來消除隨機相位的影響。但如果為正的實函數(shù)，相位函數(shù)可以通過光強敏感的探測器消除。 (39)結(jié)合分數(shù)傅里葉加密和解密過程，可知，當時，基于分數(shù)傅里葉變換的雙相位編碼就變成了傳統(tǒng)的雙相位編碼。在實驗仿真過程中，我們通過加載圖像到軟件中進行實驗仿真，得到效果圖，見圖35 加密效果圖： 圖35 加密效果圖通過讀入預定加密目標圖，以相位方式乘上隨機噪聲（密鑰一），經(jīng)過傅里葉變換，得到頻譜信息，在頻域上以相位方式乘上另一隨機噪聲（密鑰二），經(jīng)過傅里葉逆變化，得到密文。此時密文含有目標圖和兩次密鑰的信息。此密文可以分別以振幅和相角兩個數(shù)據(jù)分別保存?zhèn)鬏?。解密過程效果圖如下： 圖36 解密效果圖解密是將加密進行反向操作。將完整的密文信息（振幅和相位）進行傅里葉變換，得到的密文頻譜，乘上對應的頻譜相位（密鑰二的復共軛），然后進行逆傅里葉變換，最終得到的振幅為目標圖。若沒有正確的密鑰二，則無法正確解密得到目標圖。 基于分數(shù)傅里葉變換的雙圖像加密在總結(jié)并分析研究了雙隨機相位編碼和分數(shù)傅里葉變換的加密算法以及結(jié)合時下另一廣受人們關(guān)注的加密算法——雙圖像加密算法[3]，我們進一步展開分析。雙圖像加密由于其可以加載多幅圖像，并將其整合在一起進行加密，而備受人們關(guān)注。又因為雙圖像加密和基于分數(shù)傅里葉變換的雙隨機相位編碼加密技術(shù)比較相似，因此，本節(jié)對其展開研究。我們將兩幅原始圖像分別定義為函數(shù)和，然后將其分別編碼到表示平面光場的復振幅函數(shù)上，整個過程的數(shù)學表達式為： (310)緊接著再對其進行一次隨機分數(shù)傅里葉變換，表達方式如下： (311)根據(jù)上述理論基礎，我們設計出了光路實現(xiàn)圖，如圖37所示： 圖37 雙圖像加密光路圖在圖37中，G（x,y）表示經(jīng)過編碼和一次隨機分數(shù)傅里葉變換后得到的復函數(shù)，符號表示得是對函數(shù)進行隨機分數(shù)傅里葉變換的運算，代表該種變換的隨機相位，并且作為該算法的密碼，參數(shù)t、p滿足下列關(guān)系： 。將最終輸出的復函數(shù)G（x,y）振幅和相位進行分離，令I0表示分離后的振幅，表示輸出位相，再定義中間參數(shù)，則I0表示加密圖像，隨機分數(shù)傅里葉變換的輸出相位對應得滿足： (312) 圖像解密過程，顧名思義，、和密碼執(zhí)行一次與加密操作過程相反的變換操作即逆變換就可以解密出兩幅原始圖像和了。由于空間光調(diào)制器能夠?qū)⒐鈱W信息加載在不僅僅是一維的的光學數(shù)據(jù)場上，而且能夠有效的利用光的一系列光學特性，例如光本身所具有的光學速度、以及并行特征和其具有的互連能力。并且能夠在變化的有關(guān)信號作用下，把非相干光轉(zhuǎn)化成相干光，或者改變空間上光場分布的光波長、強度、振幅、相位以及偏振態(tài)等