第三章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析(編輯修改稿)
2025-11-03 14:48 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?對(duì)漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，相應(yīng)的李雅普諾夫函數(shù)總是存在的。 ?第二法適用范圍：普遍方法！ 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： Xc=0為其平衡狀態(tài) 。 如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)， 并且滿(mǎn)足下列條件： （ 1） V(x,t)是正定的； （ 2） 是負(fù)半定的； ? ?txfx ,??),( txV?定理 2： （條件放寬） （ 3）對(duì)于任意的初始時(shí)刻 t0和任意的初始狀態(tài) x(t0) 在 時(shí)，除了在 x=0時(shí)， 外， 不恒為零，那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。 如果隨著 ，函數(shù) ，則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。 ??x ??),( txV0tt? 0),( ?txV? ),( txV?定理 3： （系統(tǒng)穩(wěn)定條件） 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： Xc=0為其平衡狀態(tài) 。 如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)， 并且滿(mǎn)足下列條件： （ 1） V(x,t)是正定的； （ 2） 是負(fù)半定的； ? ?txfx ,??),( txV?則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。 定理 4： （系統(tǒng)不穩(wěn)定條件） 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： Xc=0為其平衡狀態(tài) 。 如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)， 并且滿(mǎn)足下列條件： （ 1） V(x,t)是正定函數(shù)； （ 2） 也是正定函數(shù)； 則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的狀態(tài)是不穩(wěn)定的 。 ? ?txfx ,??),( txV??如果除原點(diǎn)外， 不恒等于零，則定理（ 4）第二條可改為正半定函數(shù)。 ),( txV??關(guān)鍵： 如何確定一個(gè)李雅普諾夫函數(shù) ？ 線性系統(tǒng)李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： Axx ?? 假設(shè) A是非奇異的，則唯一的平衡狀態(tài)在原點(diǎn) x=0處。 選李雅普諾夫函數(shù)為： PxxtxV T?),(P為正定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 (待求 )。 對(duì)李雅普諾夫函數(shù)求導(dǎo)，得： QxxxPAPAxP A xxPxAxP A xxPxAxxPxPxxPxxdtdtxVTTTTTTTTTTT??????????)()()(),(??? 由定理 1，若要求系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的， Q應(yīng)為負(fù)定的。 定理 5：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的 充要條件 是：對(duì)于任意給定的對(duì)稱(chēng)正定矩陣 Q， 都存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定矩陣 P，使得 ， 則 即為所求的李雅普諾夫函數(shù) 。 如果給定的 Q是正半定的 ， 則要求 不恒等于零 。 QPAPA T ??? PxxtxV T?),(),( txV?習(xí)題 1： ?????????????????????21211110xxxx??? 稱(chēng)為 李雅普諾夫方程 。 QPAPA T ????應(yīng)用時(shí)，常令 Q＝ I 。 （為何？） ?線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性與誰(shuí)有關(guān) ？ 習(xí)題 2： ????????????????????21210110xxxx??習(xí)題 3： 1?sk21?s s1 u x1 x3 x2 試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) k值。假定： ???????????100000000Q 線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù) 線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 0)()1(???cxkG
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