浙江大學(xué)自動控制理論課第四章根軌跡法(編輯修改稿)
2025-06-15 23:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 環(huán)零、極點(diǎn)的分布如圖 413所示，取試驗(yàn)點(diǎn) si 十分靠近開環(huán) 復(fù)數(shù)極點(diǎn) p4 (因而可以認(rèn)為開環(huán)的零點(diǎn)和其它極點(diǎn)指向 si點(diǎn)矢量的相角 和它們指向極點(diǎn) p4 矢量的相角相等 )，若試驗(yàn)點(diǎn) si在根軌跡上，則 2021/6/16 第四章 根軌跡法 25 ? ? ? ? ????? ? ? ???mnl i ji 1 j 1jl2 k 1 π規(guī)則 7：根軌跡與虛軸的交點(diǎn) (以實(shí)例說明 ) 4 3 28 36 80 0s s s s K? ? ? ? ?例 已知閉環(huán)特征方程式為 自動控制理論 ? ? ? ?? ? ? ?1? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?1 2 3 4 54 1 1 2 3 52 k 1 π: 2 k 1 π所 以? ?? ? ????? ? ? ? ???nmk j ij 1 i 1ik2k 1 π計算出射角的一般表達(dá)式為 同理，計算入射角的一般表達(dá)式為 式中， 就是根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn) P4 的出射角 ?42021/6/16 第四章 根軌跡法 26 ? ?K s 0 26K2608 s K 26 s 0 80 8 s K 36 1 s 01234?????21 ,2 2 6 s 2 6 0 0 s j 1 0由勞斯判據(jù)： ?s jω當(dāng) K=260時，求解 以 代入方程直接求解 2021/6/16 第四章 根軌跡法 27 ? ?? ?? ? ????? ? ?4 2 2422ω 36 ω K jω 80 8ω 0 ω 36 ω K0 求 得 jω 80 8ω 0ω 10 , K 26 0自動控制理論 規(guī)則 8：特征方程式根之和與根之積 把式（ 413）改為 ? ? ? ??? ??? ???? ? ??????? ? ?? ?? ?mmm m 1iii1 i1nnn n 1lll1 l1K s z s zG s H ss p s p2021/6/16 第四章 根軌跡法 28 ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ??? ?mnnc j l ij 1 l 1 i1p p K z自動控制理論 如果 nm≥2則閉環(huán)特征方程 ?? ????? ? ? ? ?????? ??nmnn n 1l l il1 l 1 i 1s p s p K z 0? ?? ? ??????? ? ? ? ? ????cjn nnn n 1cj cj cjj 1 j 1j1p j 1, 2, , ns p s p s p 0于是得： ?????nnl c jl 1 j 1pp令 為特征方程的根，則 2021/6/16 第四章 根軌跡法 29 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?22222 1a r c t a na r c t a n2a r c t a n1a r c t a na r c t a n2a r c t a n,1a r ga r g2sa r g ?????????????????????????????????????????兩邊取正切得則得代入令 jsss?證圖 414 例 45的根軌跡圖 自動控制理論 復(fù)數(shù)部分為一圓試證明該系統(tǒng)根軌跡的? ? ? ?? ?21KsGs ss ?? ?例 45 已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 2021/6/16 第四章 根軌跡法 30 第三節(jié) 參量根軌跡的繪制 圖 418 雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的框圖 例 47 試?yán)L制圖 418所示的系統(tǒng)以 α為參變量的根軌跡 解： ? ? ? ??? ?? 4Gs ss 1 2α圖 419 例 47的根軌跡圖 自動控制理論 一個可變量根軌跡的繪制 ? ?? ? ? ?????22即 s 1 2 α s 4 02α s1ss 4 0系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 閉環(huán)特征方程為 2021/6/16 第四章 根軌跡法 31 ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ???軌 跡 數(shù) 為 圓為1 22 2 2,用 例 4 5方 法 可 得 根 復(fù) 部 分 一2α sK弧 ,其 方sGss s 4 1 15 1 15s j s j2 2 2 2K 2ασ ω 2程 令系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 例 48 試?yán)L制圖 420所示 ,試?yán)L制以 K和 α為參變量的根軌跡 幾個可變參量根軌跡的繪制 ? ? ?? ? ???則 上 式 變 成222 先 令 α 0 , sα s K 0 K s K 0 ,1 s 0解： 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式 2021/6/16 第四章 根軌跡法 32 圖 421 根軌跡圖 圖 420 單位反饋控制系統(tǒng) ? ? ? ?? ?? ?? ??? ? ?????????????如 軌 跡考 慮 閉 環(huán) 特 征 為為 參 變變 化 軌 跡 。 ， 則軌 跡 為圖 為 時 軌 跡 。01 2022202 22 2 2根 據(jù) 作 出 4 21 a 所 示 的 根然 后 a 0, 方 程 可 改 令先 令 K某 一 定 值 ,然 后 作 出 量 α 由 0的 根 如 令 K 4 根 KGssα sα s1 0, G ss K s Kα sGss4 σ ω 2 4 21 b 取 不 同 K值 所 作 的 根自動控制理論 2021/6/16 第四章 根軌跡法 33 第四節(jié) 非最小相位系統(tǒng)的根軌跡 開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)均位于 S左半平面的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)；反之，則稱為非最小相位系統(tǒng)。 出現(xiàn)非最小相位系統(tǒng)有如下三種情況 1） 系統(tǒng)中有局部正反饋回路 2） 系統(tǒng)中含有非最小相位元件 3） 系統(tǒng)中含有純滯后環(huán)節(jié) 圖 422具有正反饋回路的控制系統(tǒng) 自動控制理論 正反饋回路的根軌跡 內(nèi)回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ? ?? ?? ?? ? ? ?1C s G sR s G s H s? ?2
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