【正文】 直線 ,到達一個使距離的和最小的位置 ,測量出此時的斜率和截距 ,就可得到回歸方程了 .但是 ,這樣做可靠嗎 ? 有的同學可能還會想 ,在圖中選擇這樣的兩點畫直線 ,使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同 .同樣地 ,這樣做能保證各點與此直線在整體上是最接近的嗎 ? 還有的同學會想 ,在散點圖中多取幾組點 ,確定出幾條直線的方程 ,再分別求出各條直線的斜率 、 截距的平均數(shù) ,將這兩個平均數(shù)當成回歸方程的斜率和截距 . 同學們不妨去實踐一下 ,看看這些方法是不是 真的可行 ? （學生討論： . ,使得上面和下面點的個數(shù)相同或基本相同 . ,確定幾條直線方程 .再分別算出各個直線方程斜率、截距的算術(shù)平均值 ,作為所求直線的斜率、截距 .）教師：分別分析各方法的可靠性 .如下圖： 上面這些方法雖然有一定的道理 ,但總讓人感到可靠性不強 . 實際上 ,求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學的方法來刻畫 “從整體上看 ,各點與此直線的距離最小 ”.人們經(jīng)過長期的實踐與研究 ,已經(jīng)得出了計算回歸方程的斜率與截距的一般公式 ??????????????????????????.)1(,)())((2121121xbyaxnxyxnyxxxyyxxb niiniiiniiniii 其中， b是回歸方程的斜率， a是截距 . 推導(dǎo)公式 ① 的計算比較復(fù)雜，這里不作推導(dǎo) .但是 ,我們可以解釋一下得出它的原理 . 假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù) (x1,y1),(x2,y2),…,(x n,yn)， 且所求回歸方程是 ^y =bx+a, 其中 a、 b是待定參數(shù) .當變量 x取 xi(i=1,2,…,n) 時可以得到 ^y =bxi+a(i=1,2,…,n), 它與實際收集到 的 yi之間的偏差是 yi^y =yi(bxi+a)(i=1,2,…,n). 這樣，用這 n 個偏差的和來刻畫 “各點與此直線的整體偏差 ”是比較合適的 .由于（ yi^y ）可正可負，為了避免相互抵消，可以考慮用 ?? ?ni ii yy1^ || 來代替，但由于它含有絕對值，運算不 太 方 便 ， 所 以 改 用 Q=(y1bx1a)2+(y2bx2a)2+…+(y nbxna)2 ② 來刻畫 n個點與回歸直線在整體上的偏差 . 這樣，問題就歸結(jié)為 :當 a,b 取什么值時 Q 最小，即總體偏差最小 .經(jīng)過數(shù)學上求最小值的運算， a,b的值由公式 ① 給出 . 通過求 ② 式的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法（ method of least square） . （ 7）利用計算機求回歸直線的方程 . 根據(jù)最小二乘法的思想和公式 ① ，利用計算器或計算機，可以方便地求出回歸方程 . 以 Excel 軟件為例 ,用散點圖來建立表示人體的脂肪含 量與年齡的相關(guān)關(guān)系的線性回歸方程 ,具體步驟如下 ： ① 在 Excel中選定表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的散點圖（如下圖） ,在菜單中選定“圖表 ”中的 “添加趨勢線 ”選項 ,彈出 “添加趨勢線 ”對話框 . ② 單擊 “類型 ”標簽 ,選定 “趨勢預(yù)測 /回歸分析類型 ”中的 “線性 ”選項 ,單擊 “確定 ”按鈕 ,得到回歸直線 . ③ 雙擊回歸直線 ,彈出 “趨勢線格式 ”對話框 .單擊 “選項 ”標簽 ,選定 “顯示公式 ”,最后單擊 “確定 ”按鈕 ,得到回歸直線的回歸方程 ^y =. （ 8）利用計 算器求回歸直線的方程 . 用計算器求這個回歸方程的過程如下： 所以回歸方程為 ^y =. 正像本節(jié)開頭所說的，我們從人體脂肪