【正文】 Sn?= nn??22. 方法一 所以 b1=c?11,b2=c?26,b3=c?315(c≠ 0). 令 2b2=b1+b3,解得 c=21. 當(dāng) c=21時(shí)， bn=2122??nnn =2n, 當(dāng) n≥ 2時(shí)， bnbn1=2. 故當(dāng) c=21時(shí)，數(shù)列 {bn}為等差數(shù)列 . 方法二 當(dāng) n≥ 2時(shí)， bnbn1= nn nn ?? ?????? 1 )1()1(22 22 =)1()12( 3)24(22 2 ???? ??? c , 欲使 {bn}為等差數(shù)列， 只需 4c2=2(2c1)且 3c=2c(c1) (c≠ 0)解得 c=21. 167。 221 ???????? n= 121 ???????? n， ∴ an=???????????????? )2(21)1(11 nnn . {an}中， a1=21， an=111?na(n≥ 2,n∈ N*)，數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn. （ 1）求證 ： an+3=an。 a3等于 （ ） B. 28 答案 C 5.（ 2020 a3 n2+ ?????? 12021a 3t,t=1,2,3,? . 又tna=2tn4,∴ 2tn4=a5 3n1=2 21+? +(n1) ??????41n1. （ 2） =nnba=（ 2n1） （ 2）求數(shù)列 {nan}的前 n項(xiàng)和 Tn. 解 （ 1）∵ an+1=2Sn,∴ Sn+1Sn=2Sn,∴nnSS1?=3. 又∵ S1=a1=1,∴數(shù)列 {Sn}是首項(xiàng)為 公比為 3的等比數(shù)列， Sn=3n1(n∈ N*).當(dāng) n≥ 2時(shí)， an=2Sn1=2 當(dāng) n≥ 2時(shí)， Tn=1+4 4+5 2n1 2Sn=1 3n1,a2n=3 3t, ∴ 2tn=2大連模擬 ）在等差數(shù)列 {an}中，若 a4+a6+a8+a10+a12=120,則 a931a11的值為 （ 答案 C {an}的前 n項(xiàng)和滿足 S20=S40，下列結(jié)論中正確的是 （ Sn Sn =0 =0 答案 D 二、填空題 7.（ 2020 an=n2，則 a3+a5等于 （ ） A.1661 B.925 C.1625 D.1531 答案 A 1,58， 715，924，?的一個(gè)通項(xiàng)公式 an是 （ ） A. 12)1( 2?? nnn B.1)2()1( ??? nnnn C. )1(2 1)2()1( 2? ??? nnn D. 12 )2()1( ??? nnnn 答案 D 、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第 n 個(gè)圖案中需用黑色瓷磚 塊（用含 n的代數(shù)式表示） （ ） +1 +8 答案 D 5.（ 2020 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法 基礎(chǔ)自測(cè) ： ①數(shù)列可以看成一個(gè)定義在 N*（或它的有限子集 {1， 2， 3，?， n}）上的函數(shù)； ②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的； ③數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)； ④數(shù)列的通項(xiàng)公式是惟一的 . 其中說(shuō)法正確的序號(hào)是 （ ） A.①②③ B.②③④ C.①③ D. ①②③④ 答案 C 2.（ 2020 武漢武昌區(qū)調(diào)研測(cè)試 ）數(shù)列 {an}中 ,a3=2,a7=1,數(shù)列?????? ?11na是等差數(shù)列，則 an= . 答案 21 三、解答題 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，滿足 log2(1+Sn)=n+1,求數(shù)列的通項(xiàng)公式 . 解 Sn滿足 log2(1+Sn)=n+1,∴ 1+Sn=2n+1, ∴ Sn=2n+11. ∴ a1=3,an=SnSn1=(2n+11)(2n1)=2n (n≥ 2), ∴ {an}的通項(xiàng)公式為 an=????? ?? ).2(2 ),1(3 nnn {an}中， a1=1,前 n項(xiàng)和為 Sn，對(duì)任意的 n≥ 2,3Sn4,an,223 1?nS總成等差數(shù)列 . （ 1）求 a a a4的值； （ 2）求通項(xiàng)公式 an. 解 （ 1）當(dāng) n≥ 2時(shí)， 3Sn4,an,223 1?nS成等差數(shù)列， ∴ 2an=3Sn4+223Sn1，∴ an=3Sn4（ n≥ 2） . 由 a1=1,得 a2=3(1+a2)4, ∴ a2=21,a3=3 ?????? ?? 3211 a4, ∴ a3=41,a4=3 ?????? ??? 443211 a4,∴ a4=81. ∴ a2=21， a3=41， a4=81. （ 2）∵當(dāng) n≥ 2時(shí)， an=3Sn4,∴ 3Sn=an+4, ∴??? ?? ?? ?? 43 43 11 nn nn aS aS,可得 :3an+1=an+1an, ∴nnaa1?=21，∴ a2， a3，?， an成等比數(shù)列， ∴ an=a2 31S3，41S4的等差中項(xiàng)為 1， 求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 . 解 方法一 設(shè)等差數(shù)列 {an}的首項(xiàng) a1=a，公差為 d， 則 Sn=na+2 )1( ?nnd，依題意，有 ??????????????? ????????? ???????? ????????? ????????? ??,212 344412 23331,2 4552512 344412 233312dadadadada 整理得?????????,2252,053 2dadad ∴ a=1， d=0或 a=4， d=512. ∴ an=1或 an= n512532?， 經(jīng)檢驗(yàn) ， an=1和 an= n512532?均合題意 . ∴所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=1或 an= n512532?. 方法二 因 Sn是等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和，易知數(shù)列??????nSn是等差數(shù)列 .依題意得 ??????????????????????????.SS,SSS，SSS2435434253432543453解得????????,5,4,3543SSS 或?????????????.4,58,524543SSS 由此得 a4=S4S3=1， a5=S5S4=1， 或 a4=516， a5=528， ∴ d=0或 d=512. ∴ an=a4+（ n4） 0=1 或 an=a4+（ n4） (512)=532512n. 故所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=1 或 an=532512n. 知公差大于零的等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，且滿足： a3 an，另一部分是新綠化的 12%321 1???n nbb， bnbn1+3bn=3bn1，推出nb111?nb=31. ∴??????nb1是以 1為首項(xiàng)、31為公差的等差數(shù)列 . ∴nb1=1+31?n=32?n.∴ bn=23?n. 12.（ 2020 2n1+n 42+? +（ 2n3） 3n2, ① 3Tn=3+4 4n =365 n?大連模擬） 若數(shù)列 {an}滿足 a1+3a2+32a3+? +3n1an=31?n(n∈ N*),則 an= . 答案 ?????????2,311,32nnn 三、解答題 {an}的前 n項(xiàng)和， an=)12)(12( )2( 2 ?? nn n，求 Sn. 解 ∵ an=)12)(12( )2( 2 ?? nn n=)12)(12( 11)2( 2 ?? ??nnn =1+)12)(12( 1 ?? nn =1+21 ?????? ??? 12 112 1 nn， ∴ Sn=n+21（ 131+3151+5171+? +121?n121?n） =n+21 ?????? ?? 1211 n=n+12?nn=12 22 2??n nn. 10.（ 2020江西理， 5） 在數(shù)列 {an}中， a1=2， an+1=an+ln ???????n11，則 an等于 （ ） +lnn +(n1)lnn +nlnn +n+lnn 答案 A 2.（ 2020 2n1或 51（ 2） n1 三、解答題 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，且 Sn=31(an1). （ 1）求 a1,a2。 (21 )n1=(21 )n. ∴ an=(21)n+1. ∴ =(21)n +1???????? ????????? 1211n = 121 ??????? n n??????21= 121 ??????? n ???????211 = n??????21（ n≥ 2） . 10分 又 c1=a1=21也適合上式，∴ = n??????21. 12 分 例 3 在等比數(shù)列 {an}中， a1+a2+a3+a4+a5=8且11a+21a+31a+41a+51a=2,求 a3. 解 方法一 設(shè)公比為 q,顯然 q≠ 1, ∵ {an}是等比數(shù)列，∴??????na1也是等比數(shù)列，公比為q1. 由已知條件得?????????????????211)11(181)1(5151qqaqqa,解得 a21 q4 =4, ∴ a23 =（ a1q2） 2=4， ∴ a3=177。 (2)已知 a6=10,S5=5，求 a8和 S8； （ 3）已知前 3項(xiàng)和為 12，前 3項(xiàng)積為 48，且 d＞ 0,求 a1. 解 （ 1） 方法一 設(shè)首項(xiàng)為 a1,公差為 d,依條件得 ??? ?? ?? da da 44153 1433 11,解方程組得??? ???.4231d ，a ∴ a61=23+(611) 4=217. 方法二 由 d=mn aa mn??,得 d=1545 1545??aa=3033153?=4, 由 an=am+(nm)d, 得 a61=a45+16d=153+16 4=217. （ 2）∵ a6=10,S5=5,∴??? ?? ?? 5105 10511 da da. 解方程組得 a1=5,d=3, ∴ a8=a6+2d=10+2 3=16,S8=82 )( 81 aa?=44. (3)設(shè)數(shù)列的前三項(xiàng)分別為 ad,a,a+d,依題意有： ??? ????? ????? 48)()( 12)()( daada daada, ∴????? ??? 48)( 4 22 daaa,∴??? ??? 24da. ∵ d＞ 0,∴ d=2,ad=2.∴首項(xiàng)為 2.∴ a1=2. 例 3 （ 12分）在等差數(shù)