【正文】 求出 c1=(1/2)c2， 可求出 c1與 c2的值 。 假設(shè) f(.), 和 L(.) 都是自變量 的連續(xù)可微函數(shù) ， 末端狀態(tài)受如下目標(biāo)集約束 (.)?[ ( ) ] 0xN??則對(duì)于最優(yōu)序列 u*,x*, 必存在非零的 ， 使如下必要條件成立： 1) 差分方程 其中 2) 邊界條件與橫截條件 3) 極小值條件 ()k??和若 u(k)無(wú)約束 ， 則極值條件為 (2) 末端自由時(shí)的離散極小值原理 定理 設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)差分方程為 性能指標(biāo)為 式中 N 固定 。 有限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器 設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng) 其中 u(t)無(wú)約束 ， F(t),Q(t)非負(fù)定 ， R(t)正定 ， t0,tf固定 ， 末端狀態(tài) x(tf)自由 ， 確定最優(yōu)控制 u*(t)使得性能指標(biāo) (22)極小 . (1) 最優(yōu)解得充要條件 定理 對(duì)于上述問(wèn)題 ， 其最優(yōu)控制的充要條件是 最優(yōu)性能指標(biāo)為 (24) (25) 其中 P(t)為 n n對(duì)稱非負(fù)矩陣 ， 滿足下列 Riccati方程 邊界條件為 P(tf) = F 將最優(yōu)控制代入系統(tǒng)方程 ， 可知最優(yōu)軌線應(yīng)滿足 證明：必要性：若 u*(t)為最優(yōu)控制 ， 可以證明 (24)成立 。 證明：將 y(t)= C(t)x(t)代入性能指標(biāo) (29)可得 其中 Q1=CTQC . 因?yàn)?Q≥0 必有 Q1 ≥0， 令 Q1 =DDT , P由無(wú)限時(shí)間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理可得本結(jié)論 。 設(shè)有 Nk級(jí)決策過(guò)程 式中 ， j=k,… ,N1,u={u(k),… ,u(N1)}. 則始自第 k級(jí)任一容許狀態(tài) x(k)的最小代價(jià)為 上式中右端第一項(xiàng)是第 k級(jí)所付出的代價(jià)；第二項(xiàng)是從第k+1級(jí)到第 N級(jí)的代價(jià)和 。 當(dāng)控制 u(t)受約束時(shí) ， 在約束范圍內(nèi)取遍 u(t)使得 求出 當(dāng) u(t)無(wú)約束時(shí) ， 則由 求出上述隱式解 。 將 u*(t)代入狀態(tài)方程 ， 得到閉環(huán)系統(tǒng)方程 ，然后解出方程的解即得到最優(yōu)軌線 x*(t)。求在容許控制域中 ， 確定最優(yōu)控制 u*(t)， 使性能指標(biāo)最小 。 (2) 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本遞推方程 問(wèn)題 ：設(shè) N級(jí)決策過(guò)程的動(dòng)態(tài)方程為 式中 ， 控制決策約束 u(k) , k=0,1,2,… ,N1；代價(jià)函數(shù)(性能指標(biāo) )為 假設(shè) f(.)和 L(.)連續(xù) ， L(.)正有界 。 證明：將 y(t)=C(t)x(t)代入性能指標(biāo)中 ， 就可以將問(wèn)題化為 有限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題 ， 即可證得結(jié)論 。 3) 積分項(xiàng) ， 若 則 該項(xiàng)表示在控制過(guò)程中所消耗的能量 。 (18) 定理 對(duì)于如下 定常系統(tǒng) 、 積分型性能指標(biāo) 、 末端自由 、 控制受約束 的最優(yōu)控制問(wèn)題 式中末端時(shí)刻固定或自由 ， 假設(shè)同前 ， 則對(duì)于最優(yōu)解u*,x*,tf*， 必存在非零的 ， 使如下必要條件成立： 1) 正則方程 其中 ()t? 2) 邊界條件與 橫截條件 3) 極小值條件 4) 沿最優(yōu)軌線哈密爾頓函數(shù)變化率 (tf自由時(shí)用 ) 于是該積分型問(wèn)題就變成了如下末值型問(wèn)題： 把上面兩個(gè)式子代入?yún)f(xié)態(tài)方程 ， 可得 因此 由橫截條件可知 因?yàn)? ， 上式可表示為 由 (19)可得 0 ()()tHtx???????常 數(shù) (19) 0 ( ) 1( ) 0ftt????則哈密爾頓函數(shù)為 將它代入 (19)可得 從而也得到了極值條件 3)和最優(yōu)軌線末端應(yīng)滿足條件 4)。 最優(yōu)解的必要條件為： 1) x(t)和 滿足正則方程 ,nmx R u R?? ,rR r n? ? ?(.), (.)??()t?2) 邊界條件和橫截條件 3) 極值條件 證明：構(gòu)造廣義泛函 分部積分 則 對(duì)上式取一次變分 ， 考慮到 根據(jù)泛函極值的必要條件 ， 可得到結(jié)論 。 X? 當(dāng)自變量函數(shù) 有變分 時(shí)， 泛函的增量為 )(tX X?? ? ? ?,L X X r X X????? ? ? ?XJXXJJ ???? ? 泛函的變分： ? ?,L X X? ? ?,r X X? X?? ?,J L X X???當(dāng)一個(gè)泛函具有變分時(shí)，也稱該泛函可微。 第 4章 最優(yōu)控制原理與應(yīng)用 最優(yōu)控制的基本概念 ?最優(yōu)控制研究的主要問(wèn)題：根據(jù)已建立的被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，選擇一個(gè)容許的控制率，使得被控對(duì)象按照預(yù)定的要求運(yùn)行，并使給定的某一性能指標(biāo)達(dá)到極小值 (或極大值 )。和函數(shù)的微分一樣，泛函的變分可以利用求導(dǎo)的方法來(lái)確定。 當(dāng)末端時(shí)間 tf固定 ， 末端狀態(tài) x(tf)自由時(shí) ， 不存在目標(biāo)集 因此 ， 該下的泛函極值只需將上述結(jié)論中的 去掉即可 。 解：該題屬于 定常系統(tǒng) 、 積分型性能指標(biāo) 、 tf固定 、 末端自由 、 控制受約束的最優(yōu)控制問(wèn)題 。 線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題的類(lèi)型： (1) 狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題 如果 C(t)=I, z(t)=0， 則 e(t)=y(t)=x(t), 并且性能指標(biāo)為 最優(yōu)控制問(wèn)題為：當(dāng)系統(tǒng)受擾動(dòng)偏離原零平衡狀態(tài)時(shí) ，要求產(chǎn)生一控制向量 ， 使得系統(tǒng)狀態(tài)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)附近 ， 并使上面的性能指標(biāo)極小 ， 稱為 狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題 。 定理說(shuō)明： ?有限時(shí)間時(shí)變輸出調(diào)節(jié)器的最優(yōu)解與有限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器的最優(yōu)解具有相同的最優(yōu)控制和最優(yōu)性能指標(biāo)表達(dá)式，僅在Riccati方程及其邊界條件的形式上有微小差別。 求最優(yōu)控制序列{u(0),u(1),… ,u(N1)},使代價(jià)函數(shù)極小 。 為了求上述問(wèn)題的最優(yōu)解 ， 除了可以采用極小值原理外 ，還可以用連續(xù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃法 ， 該方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為哈密爾頓 雅可比方程 。 通過(guò)計(jì)算 ，得到 。 (41) (42) (3) 連續(xù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程 當(dāng)控制 u(t)受約束時(shí) ， 由哈密爾頓 雅可比方程的第一種形式可得連續(xù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程 則最優(yōu)解的充分條件可表示為 利用上式求解連續(xù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的步驟可以總結(jié)如下： (43) 1) 求解最優(yōu)控制的隱式解 。 問(wèn)題中的假設(shè)是為了保證最優(yōu)控制序列的存在 。 無(wú)限時(shí)間定常輸出調(diào)節(jié)器 定理： 設(shè)線性定常系統(tǒng)方程為 性能指標(biāo)為 u(t)無(wú)約束 ， 若矩陣對(duì) {A,B}完全可控 ， {A,D}完全可觀 ，其中 DDT=CTQC,則存在使 J=min的唯一最優(yōu)控制 (29) 最優(yōu)性能指標(biāo)為 式中 為對(duì)稱正定矩陣 ， 滿足如下 Riccati方程 最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng) 漸進(jìn)穩(wěn)定 ， 其解為最優(yōu)軌線 x*(t)。 (3) 輸出跟蹤系統(tǒng)問(wèn)題 若 C(t)≠I(mǎi), z(t) ≠ 0， 則 最優(yōu)控制問(wèn)題為：當(dāng)理想輸入作用于系統(tǒng)時(shí) ， 要求產(chǎn)生一控制向量 ， 使得系統(tǒng)實(shí)際輸出向量始終跟蹤理想輸入的變化 ， 并使性能指標(biāo) (21) 極小 ， 稱為 輸出跟蹤系統(tǒng)問(wèn)題 。 顯然 ， 當(dāng) 時(shí) u*(t)產(chǎn)生切換 ， 由 可以解出 =，因此 將 u*代入狀態(tài)方程并利用初值條件可得到最優(yōu)軌線為 ( ) 0ft? ? ( ) 1st? ?( ) 1 1stst ce? ?? ? ? st(2) 末端受約束時(shí)的極小值原理 定理 對(duì)于如下 定常系統(tǒng) 、 末值型性能指標(biāo) 、 末端受約束 、 控制受約束 的最優(yōu)控制問(wèn)題 式中末端時(shí)刻固定或自由 ， 假設(shè)同前 ， 則 必存在非零的 ， 使如下必要條件成立： ( ),t??1) 正則方程 其中 2) 邊界條件與橫截條件 3) 極小值條件 4) 沿最優(yōu)軌線哈密爾頓函數(shù)變化率 (tf自由時(shí)用 ) 定理 對(duì)于如下 時(shí)變系統(tǒng) 、 末值型性能指標(biāo) 、 末端受約束 、 控制受約束 的最優(yōu)控制問(wèn)題 式中末端時(shí)刻固定或自由 ， 假設(shè)同前 ， 則 必存在非零的 ， 使如下必要條件成立： ( ),t??1) 正則方程 其中 2) 邊界條件與橫截條件 3) 極小值條件 4) 沿最優(yōu)軌線哈密爾頓函數(shù)變化率 (tf自由時(shí)用 ) 離散系統(tǒng)的極小值原理 (1)末端約束時(shí)的離散極小值原理 定理 設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)差分方程為 性能指標(biāo)為 式中