【正文】 與 Y獨立 ， 如果對任意實數(shù) ab,cd， 有 p{aX?b,cY?d}=p{aX?b}p{cY?d} 即事件 {aX?b}與事件 {cY?d}獨立 ， 則稱隨機變量 X與 Y獨立 。 則稱 167。 5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2COV(X, Y). ? ?(2)協(xié)方差性質(zhì) 例 2:設(shè)隨機變量 X?B(12,),Y?N(0,1), COV(X,Y)=1,求 V=4X+3Y+1與 W=2X+4Y 的方差與協(xié)方差。 (1)協(xié)方差定義 :若 . X的期望 E(X)和 Y的期望E(Y)存在 , 則稱 COV(X, Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}. 為 X與 Y的 協(xié)方差。 解： 一般地，設(shè)隨機變量 X1, X2， ..., Xn獨立且 Xi服從正態(tài)分布 N(?i ,?i2),i=1,...,n, 則 ),(~ 21211iniiniiiniii aaNXa ?? ?????? 例 2：卡車裝運水泥 ,設(shè)每袋水泥的重量X(kg)服從 N(50,)分布 ,該卡車的額定載重量為 2022kg,問最多裝多少袋水泥 ,可使卡車超載的概率不超過 . YX 已知 (X, Y)～ p(x, y), (x, y)?R2, 求 Z＝ 的密度 。 ? ???? dyyxpxp X ),()(? ???? dxyxpyp Y ),()(設(shè) (X, Y)～ P(x, y), (x, y)?R2, 則稱 (p121) 為 (X, Y)關(guān)于 X的 邊 際 密度函數(shù)； 同理，稱 邊際密度函數(shù) ),()()( ??????? YxXPxXPxF X? ??? ???? x dudvvup ),( ? ??? ???? x dudvvup ]),([? ???? dvvxpxp X ),()(說明： ??? ???o t h e r sxyxcyxP0),(2（ 1）求常數(shù) c。 正態(tài)分布也稱為高斯 (Gauss)分布 ? (1)參數(shù) ?＝ 0， ?＝ 1的正態(tài)分布稱為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作 X~N(0, 1)。 歸一 性： 對任意實數(shù) x， 0?F(x)?1， 且 。如圖陰影部分： 對于 (x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ),則 P{x1 ? X x2， y1 ? y y2 } ＝ F(x2, y2)－ F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋ F (x1, y1). (x1, y1) (x2, y2) (x2, y1) (x1, y2) 分布函數(shù) F(x, y)具有如下性質(zhì) ： 0),(lim),( ????????????yxFFyx1),(lim),( ????????yxFFyx且 0),(lim),( ???????yxFyFx0),(lim),( ???? ??? yxFxF y(1) 歸一性 對任意 (x, y) ?R2 , 0? F(x, y) ? 1, (2)單調(diào)不減 對任意 y ?R, 當(dāng) x1x2時， F(x1, y) ? F(x2 , y)； 對任意 x ?R, 當(dāng) y1y2時， F(x, y1) ? F(x , y2)。 定義 2： 稱隨機變量 X與 Y獨立的 ，如果 F(x,y)=FX(x)FY(y) 其中 F(x,y)是（ X， Y） 的聯(lián)合分布函數(shù)， FX(x)、 FY(y)分別是 X、 Y的分布函數(shù)。 隨機變量的數(shù)字特征、 契貝曉夫不等式 例 1. 若隨機變量 X服從拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為 試求 E(X). ?????? ??????xxp e x p21)(解 （ 1） 均勻 分布 U(a, b) ????? ????,0,1)(~其他bxaabxpX? ???? ba badxab xXE 。 解： (1) 定義 若 . X， Y的方差和協(xié)方差均存在 , 且 DX0,DY0， 則 DYDX)Y,Xc o v (XY ????稱為 X與 Y的 相關(guān)系數(shù) . 注： 1)若記 DX)X(EXX * ??稱為 X的標(biāo)準(zhǔn)化，易知 EX*=0， DX*= ).(),c o v ( **** YXEYXXY ??? 2)當(dāng) ?XY =0時，稱 X與 Y不相關(guān) 。 證明 : 4. 方差的性質(zhì) (1) 均勻 分布 U(a, b)： .12 )()(2abXD ??21)(??XD(2)指數(shù)分布： (3) 正態(tài) 分布 N(?, ?2) .)( 2??XD5. 幾個重要的 解 ： 解 : 例 3：已知某種股票每股價格 X的平均值為 1元，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，利用 契貝曉夫不等式 求 a,使股價超過 1+a元或低于 1a元的概率小于 10%。 幾個常用形式函數(shù)的密度函數(shù) )()()( zYXPzZPzF Z ??????????zyxd x d yyxp ),( ? ???? ???? xz dxdyyxp ]),([對 z求導(dǎo)，即得 z密度函數(shù) ?????? dxxzxpzp Z ),()( 若 (X, Y)～ p(x, y), (x, y)?R2, 則 Z＝ X＋ Y的密度為： ? ??????????－或.),(),()( dxxzxpdyyyzpzp Z 若 X與 Y相互獨立，則 Z＝ X＋ Y的密度函數(shù)為 .)()()()()( dxxzpxpdyypyzpzp YXYXZ ??? ? ???????或＝ 例 (P133): 設(shè)隨機變量 X與 Y獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求證： Z=X+Y服從 N(0,2)分布。 ??? ?????其它,00,0,),(~),( )32( yxAeyxpYX yx例 4. 設(shè) 為 (X, Y)關(guān)于 Y的 邊際密度函數(shù)。 ?????????xexpXx,21)(~ 222)(????其中 ?為實數(shù)， ?0 ，則稱 X服從參數(shù)為 ? ,?的 正態(tài)分布 ,記為 N(?, ?2)， 可表為 X～ N(?, ?2). （ 1）若隨機變量 ?3. 正態(tài)分布 1) 單峰對稱 密度曲線關(guān)于直線 x=?對稱 ； p(?)＝ maxp(x)＝