【正文】 的圖像壓縮壓縮過程中使用的最優(yōu)小波數(shù)如圖 所示圖 最優(yōu)小波樹這兩個(gè)命令是 Matlab 小波工具箱提供的自動(dòng)獲取閾值和自動(dòng)使用小波包壓縮的命令，后者將分解閾值化和重建綜合起來。選擇一個(gè)小波和小波分解的層次 N，然后計(jì)算信號(hào) s 到第N 層的分解。因此這幅圖像適合采用小波分解系數(shù)閾值量化方法進(jìn)行去噪處理 。具體程序清單見附錄⑼。同一物體部件的圖像往往是采用不同的成像機(jī)理得到的。小波的數(shù)學(xué)理論和發(fā)展在科學(xué)技術(shù)界引起一場軒然大波。這一部分討論的問題主要是小波變換從函數(shù)空間域映射到計(jì)算域的問題，也就是如何用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)小波變換，因?yàn)樾〔ǖ膽?yīng)用范圍非常廣泛，而每個(gè)領(lǐng)域都有自己特定的處理方式，所以了解這些技術(shù)對(duì)讀者選用工具箱中合適的函數(shù)來解決自己的問題很有幫助。codcv1=wcodemat(cv1,192)。subplot(221)。image(codrx),colormap(map)。39。,c,s,39。39。subplot(223)。,0)。ca239。39。ca1=wcodemat(ca1,440,39。,1)。d39。)。title(39。codrcd1=wcodemat(rcd1,192)。sym439。它可以進(jìn)一步細(xì)分為多個(gè)研究方向：圖片處理、圖像處理、模式識(shí)別、景物分析、圖像理解、光學(xué)處理等等。圖 小波分析用于圖像分解接上面的例子，直接利用對(duì) noiswom 的分解結(jié)果 ，從中重建各級(jí)系數(shù)。對(duì) DCT 方法，需要做兩次復(fù)雜度為 O(nlogn)的 DCT 變換，中間系數(shù)處理部分復(fù)雜度為 O(n)，而對(duì)小波變換，無論是分解和重構(gòu)還有系數(shù)處理的復(fù)雜度都是 O(n)，所以時(shí)間復(fù)雜度的優(yōu)勢非常明顯。在做逆變換之前可以改變小波變換域中某些系數(shù)的大小，這樣就能夠有選擇地放大所感興趣的分量而減小不需要的分量。輸出結(jié)果如圖 ：]3[原始圖像 含噪聲圖像 第一次去噪圖像 第二次去噪圖像 圖 去噪例二從上面的輸出結(jié)果可以看出，第一次去噪已經(jīng)濾去了大部分的高頻噪聲，但從去噪圖像與原始圖像相比可以看出，第一次去噪后的圖像中還是含有不少的高頻噪聲；第二次去噪是在第一次去噪的基礎(chǔ)上，再次濾去其中的高頻噪聲。對(duì)二維圖像信號(hào)的去噪方法同樣適用于一維信號(hào)，尤其是對(duì)于幾何圖像更適合。而壓縮的核心思想既是盡可能去除各小波域系數(shù)之間的信息關(guān)聯(lián)，最大限度體現(xiàn)時(shí)頻局部化的信息，因此，實(shí)際的壓縮算法多采用小波包算法，而小波樹的確定則是根據(jù)不同的信息論準(zhǔn)則，以達(dá)到分解系數(shù)表達(dá)的信息密度最高?？梢钥闯?，第一次壓縮提取的是原始圖像中小波分解第一層的低頻信息，此時(shí)壓縮效果較好，壓縮比較小(約為 1/3)；第二次壓縮是提取第一層分解低頻部分的低頻部分(即小波分解第二層的低頻部分)，其壓縮比較大(約為 1/12)，壓縮效果在視覺上也基本過的去。 具 體 程 序 見 附 錄 ⑴ 。但 的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達(dá)式。?)(,tkj? 若 n 是一個(gè)倍頻程細(xì)劃的參數(shù)，即令 n= +m，則我們有小波包的簡略記號(hào)l ?(,tnkj，其中， 。分解具有關(guān)系 ：]1[S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3。所以對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù) 即可寫),tkj?作 ())()()( 02/002/0, kbtaabktt jjjjkj ???????而離散化小波變換系數(shù)則可表示為 ()fdttfCkjkj ????)(*,其重構(gòu)公式為 ()????)()(,ttfkj?C 是一個(gè)與信號(hào)無關(guān)的常數(shù)。(2)平移不變性：若 f(t)的小波變換為 ，則 的小波變換為 ?？梢哉f短??時(shí)傅立葉變換實(shí)質(zhì)上是具有單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù) g(t)。這是因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域波形中不包含任何頻域信息。2 小波分析的基本理論 從傅立葉變換到小波變換小波分析屬于時(shí)頻分析的一種，傳統(tǒng)的信號(hào)分析是建立在傅立葉變換的基礎(chǔ)上的，由于傅立葉分析使用的是一種全局的變換，要么完全在時(shí)域，要么完全在頻域，因此無法表述信號(hào)的時(shí)頻局域性質(zhì)，而這種性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號(hào)最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。多分辨分析構(gòu)造了一組函數(shù)空間，這組空間是相互嵌套的，即 LVL21012???那么相鄰的兩個(gè)函數(shù)空間的差就定義了一個(gè)由小波函數(shù)構(gòu)成的空間，即 ???jjjWV并且在數(shù)學(xué)上可以證明 且 ， ，為了說明這些性質(zhì)，我們首先來介紹一jjVjii?下雙尺度差分方程，由于對(duì) ，所以對(duì) ，都有 ，也就是說1,??jj jxg??)(1)(?jVxg可以展開成 上的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，由于 ，那么 就可以展開成1?j 0)(t?t? ()???Zntht)()(,1?這就是著名的雙尺度差分方程，雙尺度差分方程奠定了正交小波變換的理論基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)上可證明，對(duì)于任何尺度的 ，它在 j+1 尺度正交基 上的展開系數(shù) 是一)(0,tj?)(,1tnj?nh定的，這就為我們提供了一個(gè)很好的構(gòu)造多分辨分析的方法。小波分析在圖像處理中有非常重要的應(yīng)用，包括圖像壓縮，圖像去噪，圖像融合，圖像分解，圖像增強(qiáng)等。因此，尋找具有唯一對(duì)偶小波的合適小波也就成為小波分析中最基本的問題。小波分析之所以在信號(hào)處理中有著強(qiáng)大的功能，是基于其分離信息的思想，分離到各個(gè)小波域的信息除了與其他小波域的關(guān)聯(lián)，使得處理的時(shí)候更為靈活。文中給出了詳細(xì)的程序范例，用 MATLAB 實(shí)現(xiàn)了基于小波變換的圖像處理。在頻域中，雙尺度差分方程的表現(xiàn)形式為： ())(?)2(???H?如果 在 =0 連續(xù)的話，則有)(??? ()???1)0(?)(?jj?說明 的性質(zhì)完全由 決定 。為了分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)，人們對(duì)傅立葉分析進(jìn)行了推廣乃至根本性的革命，提出并發(fā)展了一系列新的信號(hào)分析理論：短時(shí)傅立葉變換、Gabor 變換、時(shí)頻分析、小波變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、線調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計(jì)量理論和調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)分析等。而其傅立葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，從其表達(dá)式中也可以看出，它是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，沒有局部化分析信號(hào)的功能，完全不具備時(shí)域信息，也就是說，對(duì)于傅立葉譜中的某一頻率，不知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的。因此，短時(shí)傅立葉變換用來分析平穩(wěn)信號(hào)猶可，但對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)，在信號(hào)波形變化劇烈的時(shí)刻，主頻是高頻，要求有較高的時(shí)間分辨率(即 要小)，而波形變化比較平?緩的時(shí)刻，主頻是低頻，則要求有較高的頻率分辨率(即 要小)。),(baWf )(??tf ),(??baWf(3)伸縮共變性：若 f(t)的小波變換為 ，則 f(ct)的小波變換為,f。然而，怎樣選擇 和 ，才能夠保證重構(gòu)信號(hào)的精度呢？0ab顯然，網(wǎng)格點(diǎn)應(yīng)盡可能密(即 和 盡可能小)，因?yàn)槿绻W(wǎng)格點(diǎn)越稀疏，使用的小波函0ab數(shù) 和離散小波系數(shù) 就越少，信號(hào)重構(gòu)的精確度也就會(huì)越低。 小波包的定義在多分辨分析中， ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子 j 把jzjWRL???)(2Hilbert 空間 分解為所有子空間 的正交和的。我們把 稱為既有尺度指標(biāo) j、位置)2(/tjj?? )(2/tutlmlnl??)(,tnkj指標(biāo) k 和頻率指標(biāo) n 的小波包。假設(shè) ，其中，??kh ????10)NkkyCyP為二項(xiàng)式的系數(shù)，則有kC??1 ())2(sin)(co)20 ??mN?其中 ???1200)(Nkikehm?3)Biorthogonal()小波系Biorthogonal 函數(shù)系的主要特征體現(xiàn)在具有線性相位性，它主要應(yīng)用在信號(hào)與圖像的重構(gòu)中。 運(yùn) 行]2[ ]2[結(jié) 果 如 圖 。這是一種最簡單的壓縮方法，只保留原始圖像中低頻信息，不經(jīng)過其他處理即可獲得較好的壓縮效果。下面這個(gè)例子說明了小波包分析在圖像壓縮中的應(yīng)用，并給出性能參數(shù)以便于同基于小波分析的壓縮進(jìn)行比較。二維模型可以表述為s(i,j)=f( i,j)+δ從去噪的結(jié)果可以看出，它具有較好的去噪效果。下面是一個(gè)圖像增強(qiáng)的實(shí)例。 小波分析用于圖像融合圖像融合是將同一對(duì)象的兩個(gè)或更多的圖像合成在一幅圖像中，以便它比原來的任何一幅圖像更容易得為人們所理解。程序見附]2[錄⒁ 。小波分析用在圖像處理方面，主要是用來進(jìn)行圖像壓縮、圖像去噪、圖像增強(qiáng)(包括圖像鈍化和圖像銳化)、圖像融合、圖像分解。)。％將處理后的系數(shù)圖像組合為一個(gè)圖像codrx=[codrca1,codrch1,codrcv1,codrcd1]％重建處理后的系數(shù)rx=idwt2(rca1,rch1,rcv1,rcd1,39。壓縮圖像39。whos(39。,c,s,1)。d1=wrcoef2(39。mat39。,2)。)輸出結(jié)果如下所示：壓縮前圖像X的大?。? Name Size Bytes Class X 256x256 524288 double arrayGrand total is 65536 elements using 524288 bytes第一次壓縮圖像的大小為： Name Size Bytes Class ca1 135x135 145800 double arrayGrand total is 18225 elements using 145800 bytes第二次壓縮圖像的大小為： Name Size Bytes Class ca2 75x75 45000 double arrayGrand total is 5625 elements using 45000 bytes附錄⑶%裝入一個(gè)二維信號(hào)load 。mat39。%改變圖像的高度ca1=*ca1。,c,s,39。a39。)%[c,s]=wavedec2(X,2,39。subplot(224)。)。codch1=wcodemat(ch1,192)。MATLAB 的語法規(guī)則比FORTRAN 語言和 C 語言等高級(jí)語言更簡單，更重要的是它貼近人思維方式的編程特點(diǎn)，使用 MATLAB 編寫程序有如在便箋上列公式和求解。了解小波變換和小波分析的理論和方法主要以小波的發(fā)展過程為線索，從傳統(tǒng)的傅立葉分析入手，通過對(duì)比傅立葉分析、短時(shí)傅立葉分析和小波分析的優(yōu)缺點(diǎn)，指出了小波分析在分析數(shù)學(xué)領(lǐng)域的地位及其必然性。在這些場合。由于圖像經(jīng)二維小波分解后，圖像的輪廓主要體現(xiàn)在低頻部分，細(xì)節(jié)部分體現(xiàn)在高頻部分，因此可以通過對(duì)低頻分解系數(shù)進(jìn)行增強(qiáng)處理，對(duì)高頻分解系數(shù)進(jìn)行衰減處理，從而達(dá)到圖像增強(qiáng)的效果 。由于原始圖像中只含有較少的高頻噪聲，如果按照上一個(gè)例子把高頻噪聲全部濾掉的方法將損壞圖像中固有的高頻有用信號(hào)。二維信號(hào)用二維小波分析的去噪步驟有 3 步：(1)二維信號(hào)的小波分解。得到的壓縮結(jié)果如圖 所示。從理論上說，可以獲得任意壓縮比的壓縮圖像 。在本例中，把圖像中部的細(xì)節(jié)系數(shù)都置零，從壓縮圖像中可以很明顯地看出只有中間部分變得模糊(比如在原圖中很清晰的圍巾的條紋不能分辨)，而其他部分的細(xì)節(jié)信息仍然可以分辨的很清楚。Biorthogonal 函數(shù)系通常表示為 的形式：Nr=1 Nd=1，3，5Nr=2 Nd=2，4，6，8Nr=3 Nd=1，3，5，7，9Nr=4 Nd=4Nr=5 Nd=5Nr=6 Nd=8其中，r 表示重構(gòu)，d 表示分解。正是這個(gè)頻率新參數(shù)的作用，使得小波包克服了小波時(shí)間分辨率高時(shí)頻率分辨l率低的缺陷，于是，參數(shù) n 表示 函數(shù)的零交叉數(shù)目，也就是其波形的)2()(/tutlmlnl???震蕩次數(shù)?，F(xiàn)在，對(duì)小波子空間 按照二進(jìn)制分式進(jìn)行頻率的細(xì)分，以t?j達(dá)到提高頻率分辨率的目的。大多數(shù)情況下是將尺度因子和位移參數(shù)按 2 的冪次進(jìn)行離散。(5)冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。 小波變換小波變換提出了變化的時(shí)間窗，當(dāng)需要精確的低頻信息時(shí)，采用長的時(shí)間窗，當(dāng)需要精確的高頻信息時(shí)，采用短的時(shí)間窗。在實(shí)際的信號(hào)處理過程中，尤其是對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理中，信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻域特征都很重要。短時(shí)傅立葉變換分析的基本思想是：假定非平穩(wěn)信號(hào)在分析窗函數(shù) g(t)的一個(gè)短時(shí)間間隔內(nèi)是平穩(wěn)(偽平穩(wěn))的，并移動(dòng)分析窗函數(shù)，使 在不同的有限時(shí)間寬度內(nèi)是)(??tgf平穩(wěn)信號(hào)，從而計(jì)算出各個(gè)不同時(shí)刻的功率譜。因?yàn)檫@些特定，小波分析可以探測正常信號(hào)中的瞬態(tài)，并展示其頻率成分，被稱為數(shù)學(xué)顯微鏡，廣泛應(yīng)用于各個(gè)時(shí)頻分析領(lǐng)域。而二進(jìn)小波變換雖然在離散的尺度上進(jìn)行伸縮和平移，但是小波之間沒有正交性，各個(gè)分量的信息攙雜在一起，為我們的分析帶來了不便。其典型應(yīng)用包括齒輪變速控制，起重機(jī)的非正常噪聲，自動(dòng)目標(biāo)所頂，物理中的間斷現(xiàn)象等。基于小波分析的圖像壓縮方法很多，比較成功的有小波包、小波變換零樹壓縮、小波變換矢量量化壓縮等。 全文介紹了小波變換的基本理論，并介紹了一些常用的小波函數(shù)，它們的主要性質(zhì)包括緊支集長度、濾波器長度、對(duì)稱性、消失矩等，都做了簡要的說明。)(t?可以用數(shù)學(xué)方法證明，若 是 的 Riesz 基，那么存在一種方法可以把 轉(zhuǎn)化為)(t?0V)(t?的標(biāo)準(zhǔn)化正交基。它可以進(jìn)一步細(xì)分為多個(gè)研究方向：圖片處理、圖像處理、模式識(shí)別、景