【正文】 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 正定時(shí)，為極小值；當(dāng)負(fù)定時(shí)，為極大值；當(dāng)不定時(shí)，不是極值.記，并記 ，： ，則二次型是正定的，此時(shí)為極小值；若 ，則二次型是負(fù)定的，此時(shí)為極大值.特殊地，當(dāng)時(shí)，有如下推論：，且 令 則 ①當(dāng)時(shí)，. ②當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值.③當(dāng)時(shí)，不能確定，需另行討論.4．介紹多元函數(shù)條件極值的若干解法通過(guò)一個(gè)量用其它量代替的方法達(dá)到降元效果，將條件極值化為無(wú)條件極值問(wèn)題來(lái)解決一些較為簡(jiǎn)單的條件極值問(wèn)題，這種方法適用于約束函數(shù)較為簡(jiǎn)單的條件極值求解，有些條件極值很難化為無(wú)條件極值來(lái)解決..解 由 解得，將上式代入函數(shù)，得 解方程組 得駐點(diǎn) ， 在點(diǎn)處，所以不是極值點(diǎn)從而函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處無(wú)極值；在點(diǎn)處，又，所以為極小值點(diǎn)因而，函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處有極小值極小值為.拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值的一種常用方法，特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)組限制下的極值，若及有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Jacobi矩陣的秩為，則可以用拉格朗日乘數(shù)法求極值.首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)然后，解方程組從此方程組中解出駐點(diǎn)的坐標(biāo) ，所得駐點(diǎn)是函數(shù)極值的可疑點(diǎn)，需進(jìn)一步判斷得出函數(shù)的極值.（充分條件） 設(shè)點(diǎn)及個(gè)常數(shù)滿足方程組 ，則當(dāng)方陣 為正定（負(fù)定）矩陣時(shí)，為滿足約束條件的條件極?。ù螅┲迭c(diǎn)，因此為滿足約束條件的條件極?。ù螅┲?.解 此橢球在點(diǎn)處的切平面為 化簡(jiǎn),得 此平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為：則此切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積 由題意可知，體積存在最小值，要使最小，則需最大；即求目標(biāo)函數(shù)在條件下的最大值，其中，拉格朗日函數(shù)為由 解得。說(shuō)明：以上介紹的兩種方法為解多元函數(shù)條件極值的常用方法，但在實(shí)際解題過(guò)程中，我們還可以根據(jù)多元函數(shù)的一些特點(diǎn)選擇其它一些特殊解法來(lái)快速解題，如標(biāo)準(zhǔn)量代換法、不等式法、二次方程判別式法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法. 標(biāo)準(zhǔn)量代換法求某些有多個(gè)變量的條件極值時(shí),我們可以選取某個(gè)與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量,稱其余各量為比較量,然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來(lái),一般設(shè)這幾個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.,求的最小值.解 取 為標(biāo)準(zhǔn)量, 令 ,則 (為任意實(shí)數(shù)),從而有 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí)成立，所以的最小值為. 不等式法均值不等式是常用的不等式，其形式為，這里，且等號(hào)成立的充分條件是. 已知，求的極小值.解