【正文】 is, 2022, 47(5): 12651286.[15]Mehdi Dehghan, Ameneh Taleei. A pact splitstep finite difference method for solving the nonlinear Schr246。dinger equations with constant and variable coefficients[J]. Computer Physics Communications, 2022, 181(1): 4351.[29]Mehdi Dehghan, Farhad Fakharlzadi. The spectral collocation method with three different bases for solving a nonlinear partial differential equation arising in modeling of nonlinear waves[J]. Mathematical and Computer Modelling. 2022, 53(9): 1865–1877.[30]Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Topics in Matrix Analysis[M]. Cambridge : Cambridge University Press, 1991: 242260.[31]Jie Shen, Tao Tang. Spectral and highorder methods with applications[M]. Beijing: Science Press, 2022: 1518.[32]. Efficient spectralGalerkin method II. Direct solvers of second and fourthorder equations using Chebyshev polynomials[J]. 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(,)(,)()kjNkjfwxyufxy??? 由定理 有 (32)(()BAvecUBvecF???????對方程(32)進(jìn)行求解，就可以求出其數(shù)值解 ，從而得到方程(31)的數(shù)值解kj哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 14 。()n 39。dinger 方程，運用 GalerkinChebyshev 譜方法對空間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似,離散薛定諤方程(11)，從而將原問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)域上的線性常微分方程組，然后再用邊界值法求解該方程組，所求得的數(shù)值解即為原問題的解，之后再進(jìn)行誤差分析，得到誤差分析結(jié)哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 7 果，最后再通過 Matlab 進(jìn)行數(shù)值模擬，給出數(shù)值解的圖像以及誤差曲面圖像。薛定諤方程可以分為與時間有關(guān)和與時間無關(guān)兩種類型，其中量子系統(tǒng)的波函數(shù)隨著時間的演化過程是通過與時間有關(guān)的薛定諤方程來描述的，而與時間無關(guān)的薛定諤方程則描述的是固定狀態(tài)的量子系統(tǒng)的物理性質(zhì)，方程的解即是該量子系統(tǒng)固定狀態(tài)的波函數(shù)。在化學(xué)和物理等諸多科學(xué)研究領(lǐng)域當(dāng)中，薛定諤方程求解的結(jié)果都與實際很相符。dinger equation through the GalerkinChebyshev spectral method and the boundary value method. First we use the spectral method to approximate the spatial derivation, discretize the two dimensional Schr246。Dehghan 和 Taleei還提出了一種緊湊的分布有限差分方法來求解薛定諤方程 [28]，該方法通過使用四階精度緊致差分格式，來提高分布有限差分方法的準(zhǔn)確性，而且還具有無條件穩(wěn)定的性質(zhì)。cos(ar),01,nTxn??Chebyshev 多項式具有如下的性質(zhì)：性質(zhì)(1) [31]：正交性 112,(),(())0,nmnmmTxTxdxn??? ????????性質(zhì)(2) [31]：遞推關(guān)系 110()2(),nnxTxT??????39。,kpWf?,()kp 在空間 上的閉包記為 ，當(dāng) 時 ，0()C??,?,0kp?2P?,2()kkWH?。 (4)rjrjjjjjttft??? ?從而令： (1)()000kk qrjrjjj jLytfCytCty????????????? ?則有： (35)010110,23,!()!krkkrrkkqqqr rrrC???????????????? ?如果 有 次的連續(xù)微商，那么就可以選取 和 使得()yt2p? ,j?，即選取 使其滿足010,cc?? 1?,r??哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 15 (36)0111100!()!krkkrrkkppr rrr?????????????????此時就有 (1)21()ppLctytOt????,00kkrjrjjkfR??????其中 為截斷誤差，略去 ，就得到了線性多步法(34)，該方法的精度是,jkR,jkR階的。39。本文所給出的方法求得的數(shù)值解已經(jīng)具備了較高的精度，文中所采用的邊界值法給出的是定步長的格式，要是能實現(xiàn)變步長的邊界值法來進(jìn)行求解，效果應(yīng)該能達(dá)到更好。dinger equation using collocation and radial basis functions[J]. Computers amp。dinger equation as a tool in molecular dynamics[J]. Journal of Computational Physics, 1983, 52(1): 3553.[20]Murat Subasi. On the finite differences schemes for the numerical solution of two dimensional Schr246。圖 51： 時刻實部的數(shù)值解圖像tT?哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 32 圖 52： 時刻實部的絕對誤差分析曲面圖像tT?圖 53： 時刻虛部的數(shù)值解圖像tT?圖 54： 時刻虛部的絕對誤差分析曲面圖像tT?哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 33 對于微分方程(11)，數(shù)值模擬實例 2 當(dāng)中，我們考慮的是 ， ，0a?1b，相應(yīng)的初始條件是：2(,)1wxyy??2(,)xy??此問題的精確解是： (52)2,itute通過精確解(52)式即可很快得到此問題的邊界值條件，即為，(0,)yt?2(1,)ituyte?，xx 針對上述問題，采用 GalerkinChebyshev 譜方法和邊界值法對該問題進(jìn)行求解，取 ， ， ，利用 matlab 編程在實部 處求得該問題的數(shù)值解20N?.1t?TtT見下圖 55，以及得到絕對誤差分析曲面圖像見下圖 56，再取 ，20N?， ，利用 matlab 編程在虛部處求得該問題的數(shù)值解見下圖 57，及得到絕對誤差分析曲面圖像見下圖 58。 區(qū)域的處理原問題中 ，我們在這里對其進(jìn)行一定的變換處理，使區(qū)域??(,),xyab??變成 。()()!!rjjjjjtrtytyyy?????????2339。p???()suLxIfe??? 接下來定義 空間，設(shè)空間 是有界的，且 ，有pnR1p??()():ppLf?????在空間 和 上的全體 次連續(xù)可微的函數(shù)所構(gòu)成的集合分別記為 和?k ()kC?。 最后是本文的一個總結(jié)，以及研究此問題的意義和前景展望。近年來，很多學(xué)者通過各種方法研究具有復(fù)雜勢函數(shù)的薛定諤方程所描述的問題 [1114]，解釋了很多重要的物理現(xiàn)象，因此對薛定諤方程的求解具有相當(dāng)重要的意義。dinger equation is the basic equations of quantum mechanics in the physical system. It can clearly describe the regular of the quantum evolves over time. By solving the Schr246。然后用邊界值法求解該方程組，所求得的數(shù)值解即為原問題的解，之后進(jìn)行誤差分析。我們可以通(,)xy過給定的初始條件和邊界值條件以及波函數(shù)所滿足的條件，來求解出波函數(shù)，進(jìn)而計算粒子的分布概率。在第三章當(dāng)中，我們采用 GalerkinChebyshev 譜方法求解橢圓型方程，以及用邊界值法求解常微分方程，并給出求解特殊常微分方程組的求解格式，這兩個方法求解微分方程都具有很高的精度和很好的穩(wěn)定性。,1kc?????哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 10 定理 [32]：設(shè) ，則:39。(),(,)rrrryttfy??r?由泰勒展開有： 2339。還給出了利用邊界值法求解微分方程組的過程，并給出了幾種特殊形式的微分方程組的邊界值法求解的數(shù)值格式，邊界值法求解微分方程具有很高的精度，對于求解常微分方程組也是一個很好的方法。最后再對本文所給出的方法進(jìn)行誤差分析，得到誤差分析結(jié)果。dinger equations[J]. Mathematical and Computer Modelling, 2022, 6(55): 17981812.[17], , Z. lkoni, , . Finite difference method for solving the Schr246。dinger equations[J]. Applied Numerical 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 39 Mathematics, 2022, 61(4): 593614.[27]Tao Li, Guodong Wang, Ziw Jiang. A numerical method for two dimensional Schr246。dinger equation and related nonlinear wave models[D]. 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