【正文】 現(xiàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“旋轉(zhuǎn) 2”。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究36圖 課件制作步驟要點(diǎn)（1）建立平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)造正方形 ABCD。完成第二問(wèn)。平移后可觀察 AB 與 DA 的長(zhǎng)度即可知，AB=DA。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究45圖 （5）點(diǎn)擊“移動(dòng) M”按鈕，或選中 N 點(diǎn)，上下拉動(dòng)之，便可改變 M 點(diǎn)的位置，追蹤軌跡。先后選中點(diǎn) N 與點(diǎn) V，構(gòu)造其軌跡，得到一小段開口向下的拋物線。時(shí)，點(diǎn) B 恰好落在反比例函數(shù) y＝ 的圖象上，求 k 的值；kx（3）點(diǎn)擊“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 30176。圖 關(guān)鍵制作步驟（1）按題目所示，畫出等腰三角形 OAB。在圓上任意選一點(diǎn) B’，以 B 點(diǎn)為圓心，AB 為半徑畫圓，與大圓交于 A’?！卑粹o。該效果的達(dá)成是通過(guò)構(gòu)成“隱藏軌39。如圖 及圖 。ABO39。生成移動(dòng)按鈕“移動(dòng)到目標(biāo)”使 B’點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn) F 和3?3?“返回”按鈕，使 B’點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn) B。到 B”。圖 圖 （3）繪制函數(shù) y＝ 。使△OAB 旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)位置。將其命名為“移動(dòng) M”。如圖 。圖 圖 （3）點(diǎn)擊“返回”按鈕即可返回。度量出 CH 的坐標(biāo)距離。圖 （2）在 x 軸上任意找一點(diǎn) V，過(guò) V 點(diǎn)構(gòu)造 x 軸的垂線，在垂線上找一點(diǎn) P，度量 VP 的坐標(biāo)距離，以此為半徑，點(diǎn) D 為圓心構(gòu)造圓，交 AD 于 I。主要不變量是：CE 與 AG 的構(gòu)造。圖 （4）為使△BEF 能夠繞點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)，以點(diǎn) B 為圓心，分別以 BE 與 BF 的長(zhǎng)度為半徑畫圓。觀察后按“三角形返回”按鈕，使三角形恢復(fù)旋轉(zhuǎn)前位置。翻折類題型的解法的關(guān)鍵是要抓住這些變動(dòng)著的量和保持不變的量之間的關(guān)系，搞清楚變化的量在翻折過(guò)程中的空間關(guān)系的位置變化。且∠ =60176。如圖 。.圖 （7）用同樣地方法，構(gòu)造第二個(gè)橢圓。 圖 （2）雙擊 y 軸，是 y 軸成為對(duì)稱軸?？梢园l(fā)現(xiàn)當(dāng) a=2 時(shí)，三角形的邊 PM 與梯形的斜邊重合。①當(dāng)∠RTP=30176。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究8圖 （6）制作第二問(wèn)：計(jì)算出|CEEO|的大小。建立點(diǎn) C 和點(diǎn) A 的動(dòng)畫點(diǎn)。只有當(dāng)點(diǎn) F 與點(diǎn) C 重合時(shí)，EO 與 EC 的長(zhǎng)度相等，其他情況 EO 的長(zhǎng)度EC 的長(zhǎng)度。 例 1（2022 年鄂州市）如圖 27 所示，將矩形 OABC 沿 AE 折疊，使點(diǎn) O 恰好落在 BC 上 F 處，以 CF 為邊作正方形CFGH，延長(zhǎng) BC 至 M，使 CM＝｜CF—EO｜，再以 CM、CO 為邊作矩形 CMNO(1)試比較 EO、EC 的大小，并說(shuō)明理由。通過(guò)幾何畫板這個(gè)工具，一來(lái)能讓我們直觀地感知題目條件，快速清晰地理解題意；二來(lái)提供一個(gè)實(shí)驗(yàn)探究平臺(tái)，利用它學(xué)生可以任意拖動(dòng)圖形、觀察圖形、猜測(cè)并驗(yàn)證，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中增加對(duì)各種圖形的感性認(rèn)識(shí)，形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景，從而更有助于學(xué)生對(duì)題目的理解和證明，使學(xué)生從過(guò)去的聽數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)在的做數(shù)學(xué)。這是翻折后的圖形，此時(shí)可以觀察到 EO 的長(zhǎng)度≥EC 的長(zhǎng)度。圖 圖 如果不是有了幾何畫板的探究，不管是學(xué)生還是老師，也許將耗費(fèi)很多的時(shí)間在該題上依舊一無(wú)所獲。此步驟是為了構(gòu)造出翻折效果。CO∴ 1?CMNOFGH四 邊 形四 邊 形（3）∵CO=1， ∴EF=EO=32QE， QF??321∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60176。對(duì)于第一問(wèn)：將直角梯形 ABCD 向左翻折二次，如果此時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng) a≥2cm，這時(shí)兩圖形重疊部分的面積是多少？（1）如圖 ，圖 。如圖 。 圖 （5）隱藏橢圓，制作動(dòng)畫按鈕。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究20圖 （10）構(gòu)造三角形 IC’N 的內(nèi)部，度量出它的面積。如圖 。圖 則 = ＞ S 梯形MVC39。從課件中讓學(xué)生初步感知到“變”與“不變”。如圖 。圖 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究32 滿分解答解：（1）證明：在 Rt△FCD 中， ∵G 為 DF 的中點(diǎn)，∴ CG= 12FD同理，在 Rt△ DEF 中， EG= 2FD∴ CG=EG（2） （1）中結(jié)論仍然成立，即 EG=CG證法一：連 接 AG，過(guò) G 點(diǎn)作 MN⊥AD 于 M，與 EF 的延長(zhǎng)線交于 N 點(diǎn)．[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng) ZXXK]在△DAG 與△ DCG 中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG ，DG=DG，∴ △DAG ≌△ DCG∴ AG=CG在△DMG 與△FNG 中，∵ ∠DGM =∠FGN，F(xiàn)G =DG，∠MDG=∠NFG，∴ △DMG ≌△FNG．∴ MG =NG 在矩形 AENM 中，AM =EN在 Rt△ AMG 與 Rt△ENG 中，∵ AM=EN， MG=NG，∴ △AMG≌△ENG∴ AG=EG∴ EG=CG證法二：延長(zhǎng) CG 至 M,使 MG=CG，連接 MF，ME，EC在△DCG 與△FMG 中，∵FG=DG ，∠ MGF=∠CGD，MG =CG，∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG ＝∠DCG． ∴MF∥CD ∥AB∴ EFM?在 Rt△ MFE 與 Rt△CBE 中，∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△ CBE∴ CB??∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF ＝90176。圖 （4）對(duì)于第②小題：當(dāng) AD=4，DG= 時(shí)，求 CH 的長(zhǎng)。構(gòu)造直線CE，叫 AD 于 M，交 AG 于 H。主要不變量是：Rt△CDE 的形狀、大小，拋物線的圖像。一個(gè)是點(diǎn) M 的位置變化，一個(gè)是點(diǎn) D 的變化（即Rt△CDE 的位置變化）。圖 (4)在拋物線的右邊任意找一個(gè)點(diǎn) M，過(guò)點(diǎn) M 作 y 軸的平行線，交 DC 于點(diǎn) N。圖 對(duì)于第二問(wèn)：將△OAB 繞點(diǎn) O 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) α 角（0176。此時(shí)觀察到∠BOB39。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究56圖 (11)度量出點(diǎn) A 與點(diǎn) A’的橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值。”、“返回”。 簡(jiǎn)易教程本文的定位除了是一個(gè)解題研究，還是一個(gè)幾何畫板的簡(jiǎn)易教程。那么如何突破這種“不精63yx?確”呢，使目標(biāo)一移便達(dá)到精確位置。圖 再比如，翻折 1：在矩形 ABCD 的大小會(huì)改變的情況下，如何構(gòu)造折痕 AE，這是一個(gè)難點(diǎn)。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究60圖 (20)隱藏不需要的按鈕，度量出∠BOB’的度數(shù)。后的 B’坐標(biāo)及 A 的坐標(biāo)。圖 （7）在 x 軸上任選一點(diǎn) H，度量出其橫坐標(biāo) xH , 算出 f(xH)。點(diǎn)擊“原因”按鈕，會(huì)看到求出該函數(shù)的原因：因?yàn)椤螧OA 剛好與旋轉(zhuǎn)的角度相等，都為 30176。＜α＜90176。畫出 Rt△AOB 與 Rt△DCE。從而得知 C 點(diǎn)落在拋物21043yx???線上。∠ ∠GED　　　　　　∴△ △ .AD?C ∴ .? （2）①類似（1）可得△ △ ，A?　　　　　 ∴∠1＝∠2　 又∵∠ ＝∠ .HMDC　　　　　 ∴∠ ∠ ＝ .?90?　　　　　 即 .AG?　　　　 　 ② 解法一: 過(guò) 作 于 ,PA?　　　　　 由題意有 ,2sin451PD????　　　　　　∴ ，則 ∠1＝ .3Ata3G　　　　　　而∠1＝∠2，∴ ∠2＝ ＝ ∠1＝ .nMCtan13AB CDEFG圖 11BACDEFG12圖 12HPM 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究41　　　　　　∴ 　，即 .43DM?83ADM??　　　　　　在 Rt 中， ＝ ＝C?22?24???????103　 而 ∽ ,∴ ,　 即 　　AMHDAHMC?84103AH?∴ .　4105?再連接 ，顯然有 ,AC42?　　　　　 ∴??21085H????????? 所求 的長(zhǎng)為C8解法二：研究四邊形 ACDG 的面積過(guò) 作 于 ,GPAD?　　　　 由題意有 ,2sin451O???∴ ,3 10而以 CD 為底邊的三角形 CDG 的高=PD=1,AGDCACGDDSSS???四 邊 形∴41+44= CH+4 ∴ =H58注：本題算法較多。圖 （4）連接對(duì)角線 DD’，以 D 為圓心，DD’為半徑構(gòu)造圓，交 AD 于 J。再次按下按鈕，即停止，此時(shí)可觀察到 AG 與 CE 的長(zhǎng)度雖然時(shí)刻在改變，但始終相等。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究30圖 （5）作點(diǎn) N 移動(dòng)到點(diǎn) E 的操作按鈕，命名為“三角形返回”。 圖 （3）對(duì)于第三問(wèn)：將圖①中△ BEF 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？如圖 至 。3 旋轉(zhuǎn)類問(wèn)題旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度成為與原來(lái)相等的圖形，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。IN所以△ 的高為 h=39。因此在直線 GH 上再找一個(gè)點(diǎn) M，移動(dòng) M，使 GM=10cm。接著制造會(huì)動(dòng)的梯形。圖 （3）制作翻折效果。圖 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究13圖 對(duì)于第二問(wèn):將直角梯形 ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形 ABCD 的面積，這時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng) a 至少應(yīng)為多少？（3）移動(dòng)點(diǎn) H，或選中點(diǎn) H 按“左右鍵”，以改變等邊三角形的大小，觀察重疊部分的變化?！螦BC＝90176。過(guò) M 作 CF 的垂線交 x 軸于 N。如圖 。用幾何畫板操作時(shí)，我發(fā)現(xiàn)題目有 2 個(gè)地方都出錯(cuò)了。 (4)在(3)的條件下，若拋物線 y＝mx 2+bx+c 與線段 AB 交于點(diǎn) P，試問(wèn)在直線 BC 上是否存在點(diǎn) K，使得以 P、B、K 為頂點(diǎn)的三角形與△AEF 相似?若存在，請(qǐng)求直線 KP 與 y 軸的交點(diǎn) T 的坐標(biāo)?若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。這類實(shí)體的特點(diǎn)是：結(jié)論開放，研究目標(biāo)不確定，注重考查學(xué)生的猜想、探索能力，因此時(shí)常使學(xué)生無(wú)從下手。點(diǎn)擊“返回”按鈕，可看到三角形返回的過(guò)程。那么 CM 到底等于多少呢？直覺告訴我，CM=｜CE—EO｜. 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究5果然，試驗(yàn)了一下成功了。 幾何畫板與動(dòng)態(tài)型中考題的整合研究7圖 （4）如圖 ，以 OF 的中點(diǎn) G 為圓心，OG 為半徑作圓。(EO―EC)S 四邊形 CMNO=CMIP容易發(fā)現(xiàn)當(dāng) a= 時(shí)，重疊部分面積=梯形面積的一半。過(guò)點(diǎn) H 作 HO 垂直于 CB 且 HO 等于 AB，且過(guò)點(diǎn) O 作