【正文】 3. 1 定義法設(shè)為定義在上的函數(shù)，為定義域內(nèi)的兩個(gè)任意自變量，一般假設(shè)，給出函數(shù)之后，我們用2. 1中的定義來(lái)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性. 一般步驟如下：（1） 在定義域內(nèi)任取，且；（2） 比較和的大小，一般用差值法，令；（3） 若，則函數(shù)在上單調(diào)增加；若，則函數(shù)在上單調(diào)減少. 例：判斷函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)情況. 解：當(dāng)時(shí)，任取且，則，又因?yàn)?，且，所以，即，可知在上單調(diào)減少. 同理可證：在區(qū)間上，也單調(diào)減少，所以函數(shù)在定義域單調(diào)減少.3. 2 利用復(fù)合函數(shù)性質(zhì)判定【1】 設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)?，是定義域中使的，關(guān)于的非空子集，即 由對(duì)應(yīng)關(guān)系可知，對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)，又由對(duì)應(yīng)關(guān)系可知，對(duì)應(yīng)唯一一個(gè). 所以由對(duì)應(yīng)關(guān)系和可知，都有唯一一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，于是在上定義一個(gè)函數(shù)，稱為函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)，即，稱為中間變量. 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性相關(guān)結(jié)論如下【7】：（1） 、在定義域內(nèi)單調(diào)性相同時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；（2） 、在定義域內(nèi)單調(diào)性相反時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少；證：（1）設(shè)在定義域上單調(diào)增加，在定義域上單調(diào)增加. ，且時(shí)，有.令，當(dāng)時(shí)，有，即在定義域上單調(diào)增加. 同理可證：當(dāng)、單調(diào)減少時(shí)，單調(diào)增加. （2）設(shè)在定義域上單調(diào)減少，在定義域上單調(diào)增加. ，且時(shí)，有.令，當(dāng)時(shí)，有，即在定義域上單調(diào)減少. 同理可證：當(dāng)單調(diào)增加，單調(diào)減少時(shí)，單調(diào)減少. 用表格表示如下：（其中“”表示“函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)”，“”表示“函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)減少函數(shù)”）（）利用復(fù)合函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟為：（1） 將復(fù)合函數(shù)分解成簡(jiǎn)單函數(shù)；（2） 判斷自變量的取值范圍；（3） 判斷每一個(gè)初等函數(shù)的單調(diào)性及相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；（4） 得出此復(fù)合函數(shù)在不同區(qū)間的單調(diào)性. 例：求 的單調(diào)區(qū)間. 解：令，其中函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋肷蓮?fù)合函數(shù)，則必須要滿足條件：，即， 此時(shí)有，定義域?yàn)椋? 又因?yàn)楹瘮?shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，所以： （1） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加，所以函數(shù)在上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加；（2） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少，所以函數(shù)在上單調(diào)增加，在單調(diào)減少. 3. 3 利用反函數(shù)性質(zhì)判定【1】 設(shè)函數(shù)在數(shù)集上有定義，它的值域是，若，有（或）， 則稱函數(shù)在到上一一對(duì)應(yīng). 【1】 設(shè)函數(shù)在數(shù)集到上是一一對(duì)應(yīng)的，即，必存在唯一一個(gè)，使，這樣就新形成了一種由到對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們稱之為函數(shù)的反函數(shù)，表示為由反函數(shù)的定義不難看到，反函數(shù)的定義域恰好是函數(shù)的值域，并且反函數(shù)的值域恰好是函數(shù)的定義域，函數(shù)與互為反函數(shù)，即有，. 一個(gè)函數(shù)要想存在反函數(shù)，則原函數(shù)中自變量和因變量必須存在唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 常見(jiàn)的互為反函數(shù)的函數(shù)有：與；與；與；與，與. 反函數(shù)其實(shí)就是中，和互換了角色，了解反函數(shù)要注意以下幾點(diǎn)性質(zhì)： 原函數(shù)與相應(yīng)反函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是相互的，且具有唯一性； 和它的反函數(shù)的函數(shù)圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱； 函數(shù)的定義域與值域一一對(duì)應(yīng)，是函數(shù)存在反函數(shù)的充分必要條件； 由于一般的偶函數(shù)都有兩個(gè)自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)因變量，所以偶函數(shù)一般都不存在反函數(shù)（特例：是偶函數(shù)，它的反函數(shù)是）；由關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的原因，大部分奇函數(shù)都存在反函數(shù)（特例：分段函數(shù)是奇函數(shù)，但不存在反函數(shù)）. 原函數(shù)與其反函數(shù)在同一區(qū)間上單調(diào)性相同. 由以上幾點(diǎn)我們不僅可以根據(jù)與原函數(shù)對(duì)應(yīng)的反函數(shù)的單調(diào)情況來(lái)判斷原函數(shù)的單調(diào)情況，還可以將反函數(shù)的性質(zhì)與單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，解決其它數(shù)學(xué)問(wèn)題. 例：已知是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，且有，證明. 證：（反證法）假設(shè)存在，使得，不妨.又因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，且，所以也是上的單調(diào)遞增函數(shù). 由，得，又，即，所以，由是單調(diào)遞增函數(shù)可知，與題中假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，是正確的. 3. 4 利用奇、偶函數(shù)性質(zhì)判定如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意，有，則函數(shù)為偶函數(shù)（如：，）. 若對(duì)定義域內(nèi)，都有，則函數(shù)為奇函數(shù)（如：，）. 奇函數(shù)的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，若函數(shù)為奇函數(shù)，必含有原點(diǎn)為其定義域中的一點(diǎn)，且. 不同的是，偶函數(shù)的函數(shù)圖像則關(guān)于軸成軸對(duì)稱. 他們之間的共同之處在于：奇、偶函數(shù)的定義區(qū)間都必須是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則我們不能將其稱為奇函數(shù)或者偶函數(shù). 利用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性，相關(guān)性質(zhì)如下： 兩個(gè)（或多個(gè)）偶函數(shù)相加得偶函數(shù)，兩個(gè)（或多個(gè)）奇函數(shù)相加得奇函數(shù)； 一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)