【正文】 58 ? 例 6 如圖，拋物線 y＝ x2＋ bx＋ c與 x軸交于 A，B(1,0)兩點(diǎn) (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左側(cè) )，與 y軸交于點(diǎn) C，且 OC＝ 3. ? (1)求拋物線的解析式； 類型 6 探究三角形相似的存在性 (2022南寧 T26；2022梧州 ：解答 ． 分值： 10～ 12分 ) 59 ? 由 OC＝ 3，可得點(diǎn) C的坐標(biāo)，將 (1,0)， (0，－ 3)代入 y＝ x2＋ bx＋ c，即可得到拋物線的解析式． ? 解題思路 【解答】 由 OC ＝ 3 ，可得 C 的坐標(biāo)為 (0 ，－ 3) ． 將 (1,0) ， (0 ，－ 3) 分別代入 y ＝ x2＋ bx ＋ c ， 得????? 0 ＝ 1 ＋ b ＋ c ，－ 3 ＝ c ，解得????? b ＝ 2 ，c ＝－ 3 ， ∴ 拋物線的解析式為 y ＝ x2＋ 2 x － 3. 60 ? (2)求直線 AC的解析式； 由拋物線的解析式得到對稱軸方程 ， 又 B(1,0)， 得到點(diǎn) A的坐標(biāo) ， 設(shè)直線 AC的解析式為 y＝ kx＋ m；將 A (－ 3， 0)， C(0，－ 3)分別代入 y＝ kx＋ m， 求出直線 AC的解析式 ． ? 解題思路 61 【解答】 拋物線 的對稱軸為直線 x ＝－ 1. 又 ∵ B (1,0) ， ∴ 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ( － 3,0) ． 設(shè)直線 AC 的解析式為 y ＝ kx ＋ m ， 將 A ( － 3,0) ， C (0 ，－ 3) 分別代入 y ＝ kx ＋ m ， 得????? 0 ＝－ 3 k ＋ m ，－ 3 ＝ m ，解得????? k ＝－ 1 ，m ＝－ 3 ， ∴ 直線 AC 的解析式為 y ＝－ x － 3. 62 ? (3)若拋物線的頂點(diǎn)為 M ，試判斷 AC與 MC的位置關(guān)系，并說明理由； 由二次函數(shù)解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo) ， 從求出 AC， MC， AM的長 ， 判斷出 AC，MC， AM三條線段存在的數(shù)量關(guān)系 ， 即可 AC與 MC的位置關(guān)系 ． ? 解題思路 【解答】 AC ⊥ MC . 理由如下： ∵ 頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( － 1 ，－ 4) ． ∴ AC ＝ 3 2 ， MC ＝ 2 ， AM ＝ 2 5 . ∵ AC2＋ MC2＝ AM2， ∴△ ACM 為直角三角形，且 ∠ ACM ＝ 90176。 x2B， ∴ xA精講 類型 1 探究線段數(shù)量關(guān)系及最值的存在性 (2022賀州 T26； 2022北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū) T26； 2022柳州 T26； 2022北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū) T26； 2022柳州 T26； 2022貴港 T25； 2022柳州 ：解答 ． 分值 10～ 12分 ) 3 ? 據(jù)題意可得 B(0,3)， A(3,0)，將 A(3,0)， B(0,3)分別代入 y＝－ x2＋ bx＋ c，即可得到拋物線的解析式． ? 解題思路 【解答】 根據(jù)題意可得 B (0,3) ，令－ x ＋ 3 ＝ 0 ， 解得 x ＝ 3 ，即 A (3,0) ． 將 A (3,0) ， B (0,3) 分別代入 y ＝－ x2＋ bx ＋ c ，得????? － 9 ＋ 3 b ＋ c ＝ 0 ，c ＝ 3 ，解得????? b ＝ 2 ，c ＝ 3. ∴ 拋物線的解析式為 y ＝－ x2＋ 2 x ＋ 3. 4 ? (2)點(diǎn) D為線段 AO上的一動點(diǎn)，過點(diǎn) D作 x軸的垂線 PD， PD分別與拋物線 y＝－ x2＋ bx＋ c，直線 y＝－ x＋ 3相交于 P， E兩點(diǎn)，設(shè) D的橫坐標(biāo)為 D的運(yùn)動過程中，求線段 PE的最大值； 由 D的橫坐標(biāo)為 m， 用系數(shù) m表示出 P， E的縱坐標(biāo) ， 從而用系數(shù) m表示 PE的長度 ， 利用配方法求出 PE的最大值 ． ? 解題思路 5 【解答】 ∵ D 的橫坐標(biāo)為 m ， ∴ P 的縱坐標(biāo)為－ m2＋ 2 m ＋ 3 ， E 的縱坐標(biāo)為－ m ＋ 3 ， ∴ PE ＝ ( － m2＋ 2 m ＋ 3) － ( － m ＋ 3) ＝－ m2＋ 3 m ， ∴ PE ＝－ ( m －32)2＋94， ∴ 當(dāng) m ＝32時， PE 取得最大值，且最大值為94. 6 ? (3)在 (2)的條件下，當(dāng) PE＝ AE時，求點(diǎn) P的坐標(biāo)； ? 解題思路 易得 OA ＝ OB 的值，從而 tan ∠ OAB ＝ 1 ，即 ∠ BAO ＝ 45176。 BN ， 設(shè) A ( xA， yA) ， B ( xB， yB) ， ∵ A ( xA， yA) ， B ( xB， yB) 在 y ＝ x2圖象上， ∴ yA＝ x2A， yB＝ x2B， ∴ － xA ， ∴ 分兩種情況： ① 當(dāng) △ PC O ∽△ BAC 時，PCBA＝COAC，即PC4＝33 2， 解得 PC ＝ 2 2 . 過點(diǎn) P 作 PH ⊥ y 軸于點(diǎn) H ， △ P HC 為等腰直角三角形， 如答圖， ∴ PH ＝ HC ＝ 2 ，－ 3 ＋ 2 ＝－ 1 ， ∴ P ( － 2 ，－ 1) ； 65 ② 當(dāng) △ PC O ∽△ CAB 時，PCAC＝COAB，即PC3 2＝34， 解得 PC ＝9 24. 過點(diǎn) P 作 PH ⊥ y 軸于 H 點(diǎn)， △ P HC 為等腰直角三角形， PH ＝ HC ＝94，－ 3 ＋94＝－34， ∴ P ( －94，－34) ． 綜上所述，存在點(diǎn) P 使得以點(diǎn) O ， C ， P 為頂點(diǎn)的三角形與 △ ABC 相似，此時點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 ( － 2 ，－ 1) 或 ( －94，－34) ． 。 ， ∴∠ MAO ＝ ∠ BON ， ∴△ AMO ∽△ ONB ， ∴AMON＝OMBN， ∴ OM ， ∴ cos ∠ OAB ＝22，即ADAE＝22， ∴ PE ＝ AE ＝ 2 (3 － m ) ，即－ m2＋ 3 m ＝ 2 (3 － m ) ， 解得 m 1 ＝ 2 ， m 2 ＝ 3( 舍去 ) ， ∴ P ( 2 ， 2 2 ＋ 1) ． 8 ? (4)在 (2)的條件下，當(dāng)線段 PE最長時， Q為 PD上一點(diǎn)，是否存在 BQ＋ CQ的值最小的情況，若存在，請求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由． ? 解題思路 令－ x2＋ 2 x ＋ 3 ＝ 0 ，得到點(diǎn) C 的坐標(biāo)，由 (2) 知 m ＝32時， PE 最長．作點(diǎn) C 關(guān)于直線 x ＝32的對稱點(diǎn) M ，連接 BM ， BM 與 PD 相交于 Q ，此時 BQ ＋ CQ 的