【正文】 故所求通解為解 :原始可寫為兩端積分得可降階微分方程的解法 —— 降階法逐次積分令令注意： 對(duì)于 型的微分方程根據(jù)具體方程選擇用方法 2或方法 3，使得降階后所得方程容易求解6． 3． 2二階線性常系數(shù)齊次方程? [定義 5] 如果方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分 )的最高階數(shù)是二階的，且所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù) (或微分 )都是一次冪的，則稱這種方程為二階線性微分方程，一般形式為：稱之為二階線性齊次方程； 稱 之 為二階線性非齊次方程 稱之為二階線性常系數(shù)微分方程 (a、 b、 c均為常數(shù) )稱之為二階線性常系數(shù)齊次微分方程 (a、 b、 c均為常數(shù) ) [定理 1] 若函數(shù) 和 是二階線性常系數(shù)齊次微分方程的兩個(gè)解，則其線性組合 也是該方程的解。由于 ，故解：依題意單位時(shí)間內(nèi)藥物變化率應(yīng)該等于輸入與輸出之差，則例 13（細(xì)菌繁殖非理想環(huán)境模型），除系統(tǒng)本身的繁殖外有的細(xì)菌向系統(tǒng)外遷移，其遷移速率是時(shí)間 t的線性函數(shù)，即 At+B，系統(tǒng)內(nèi)繁殖率與細(xì)菌的數(shù)目成正比，并假定 t=0時(shí)，測(cè)得的細(xì)菌的數(shù)目為 x(0)，求系統(tǒng)的細(xì)菌繁殖規(guī)律解：設(shè) 為 t時(shí)刻細(xì)菌數(shù)目，則解得代入 則二、伯努利 ( Bernoulli )方程 * 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 :令求出此方程通解后 ,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解 .解法 :(線性方程 )例 14 求方程 的通解解：這是伯努力方程 ，其中 則 課堂練習(xí)題 :求 的特解解 :由標(biāo)準(zhǔn)形式知?jiǎng)t通解由 得所求特解為 :( 雅各布第一 例 2 質(zhì)量為 m的物體從空中自由下落，若略去空氣阻力．求物體下落的距離 s與時(shí)間 t的函數(shù)關(guān)系 s(t)。其中 Cl、 C2是兩個(gè)任意常數(shù)。試求此系統(tǒng)藥物隨時(shí)間變化規(guī)律。 解； 未知函數(shù) s(t)應(yīng)滿足方程,即 兩邊積分得 再積分一次，得 此外，設(shè)運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，物體的初始速度和初始位移為零，得常微分方程偏