【正文】 ∠BAF＝∠BCE,可知 ∠BAF＝∠BPE. 有P、B、A、E四點共圓. 于是,∠EBA＝∠APE. 所以,∠EBA＝∠ADE. 這里,通過添加平行線,使已知與未知中的四個角通過P、B、A、E四點共圓,緊密聯(lián)系起來.∠APE成為∠EBA與∠ADE相等的媒介,證法很巧妙.2 為了改變線段的位置利用“平行線間距離相等”、“夾在平行線間的平行線段相等”這兩條,常可通過添加平行線,將某些線段“送”到恰當位置,以證題.例3 在△ABC中,BD、CE為角平分線,、AB、BC的垂線,M、N、：PM＋PN＝PQ.證明：如圖3,過點P作AB的平行線交BD于F,過點F作BC的平行線分別交PQ、AC于K、G,連PG. 由BD平行∠ABC,可知點F到AB、BC＝PN. 顯然,＝＝,可知PG∥EC. 由CE平分∠BCA,知GP平分∠＝, PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ. 這里,通過添加平行線,將PQ“掐開”成兩段,證得PM＝PK,就有PM＋PN＝.3 為了線段比的轉化 由于“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊,所得對應線段成比例”,在一些問題中,可以通過添加平行線,.例4 設MM2是△ABC的BC邊上的點,且BM1＝、AC、AMAM2于P、Q、N：＋＝＋.證明：如圖4,若PQ∥BC,易證結論成立. 若PQ與BC不平行,設PQ交直線BCE. 由BM1＝CM2,可知BE＋CE＝M1E＋M2E,易知 ＝,＝, ＝,＝.則＋＝＝＝＋.所以,＋＝＋. 這里,僅僅添加了一條平行線,將求證式中的四個線段比“通分”,使公分母為DE,于是問題迎刃而解.例5 AD是△ABC的高線,K為AD上一點,BK交AC于E,：∠FDA＝∠EDA.證明：如圖5,過點A作BC的平行線,分別交直線DE、DF、BE、CF于Q、P、N、M. 顯然,＝＝.有BD,故A、B、C、CD交于P,則∠ADP＝∠ABC＝60176。,又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠,AM＝AN. 以AM長為半徑作⊙A,交AB于F,交＝AF＝AN. 由割線定理有 BMBD,即 a2＝cAC＝AN,由結論聯(lián)想到托勒密定理,構造圓內接四邊形加以證明.證明：作△ABC的外接圓,過C作CD∥AB交圓于D,連結AD和BD,如圖9所示. ∵∠A＋∠A＇＝180176。,CE＝2p,AE＝q,故 AC＝＝. 聯(lián)想直徑的性質構造輔助圓例5 已知拋物線y＝－x2＋2x＋8與x軸交于B、C兩點，,且∠BAC為銳角,則AD的取值范圍是____.分析：由“∠BAC為銳角”可知點A在以定線段BC為直徑的圓外,又點A在x軸上側,從而可確定動點A的范圍,進而確定AD的取值范圍.解：如圖5,所給拋物線的頂點為A0(1,9),對稱軸為x＝1,與x軸交于兩點B(－2,0)、C(4,0). 分別以BC、DA為直徑作⊙D、⊙E,則兩圓與拋物線均交于兩點P(1－2,1)、Q(1＋2,1).