【正文】 過點O作OEBC，則BC＝2CE＝如圖，⊙O的直徑AB＝4，C為的中點，E為OB上一點，AEC＝，CE的延 長線交⊙O于點D，則CD＝ 略解：如圖，連接OC，則OC＝2 ∵C為的中點，則OCAB，又AEC＝，∴OCE＝30 如圖，過點O作OFCD，則OF＝OC＝1，CF＝，∴CD＝2CF＝如圖，A地測得臺風(fēng)中心在城正西方向300千米的B處， 并以每小時千米的速度沿北偏東的BF方向移 動，距臺風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域. 問：A地是否受到這次臺風(fēng)的影響？若受到影響，請求 出受影響的時間？解：如圖，過點A作ACBF交于點C， ∵ABF＝30，則AC＝AB＝150200，因此A地會受到這次臺風(fēng)影響； 如圖，以A為圓心200千米為半徑作⊙A交BF于D、E兩點，連接AD， 則DE＝2CD＝2， 所以受影響的時間為（時）圓的培優(yōu)專題3——圓與全等三角形如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝6，ACB的平分線交⊙O于D，求CD的長.解：如圖，連接AB，BD，在CB的延長線上截取BE＝AC，連接DE ∵ACD＝BCD，∴AD＝BD 又CAD＝EBD，AC＝BE ∴△CAD≌△EBD（SAS） ∴CD＝DE，ADC＝BDE∵AB為⊙O的直徑，則ACB＝ADB＝90∴BC＝；ADC＋CDB＝CDB＋BDE＝90，即CDE＝ ∴△CDE是等腰直角三角形且CE＝14，∴CD＝如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓的中點，M、D分別是CB及AB延長線上一點，且 MA＝MD，若CM＝，求BD的長.解：如圖，連接AC，則AC＝BC，C＝90，即△ABC是等腰直角三角形 過點M作MN∥AD，則NMA＝MAD 則△CMN也是等腰直角三角形，則MN＝CM＝2 ∴ANC＝MBD＝135，又MA＝MD，∴D＝NMA＝MAD∴△AMN≌△BMD（AAS） ∴BD＝MN＝2如圖，AB為⊙O的直徑，點N是半圓的中點，點C為上一點，NC＝. 求BC－AC的值.解：如圖，連接AN，BN，則△ABN是等腰直角三角形 在BC上截取BD＝AC，連接DN ∵AN＝BN，CAN＝DBN，AC＝BD ∴△ACN≌△BDN（SAS）∴CN＝DN，CNA＝DNB，∴CND＝CNA＋AND＝ADN＋DNB＝90，即△CND是等腰直角三角形∴CD＝NC＝，∴BC－AC＝BC－BD＝CD＝如圖，點A、B、C為⊙O上三點，點M為上一點，CEAM于E， AE＝5，ME＝3，求BM的長.解：如圖，在AM上截取AN＝BM，連接CN，CM. ∵，∴AC＝BC，又A＝B ∴△ACN≌△BCM（SAS） ∴CN＝CM，又CEAM ∴NE＝ME＝3， ∴BM＝AN＝AE－NE＝2如圖，在⊙O中，P為的中點，PDCD，CD交⊙O于A，若AC＝3，AD＝1， 求AB的長.解：如圖，連接BP、CP，則BP＝CP，B＝C 過點P作PEAB于點E，又PDCD ∴BEP＝CDP ∴△BEP≌△CDP（AAS） ∴BE＝CD＝3+1＝4，PE＝PD 連接AP，則Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），則AE＝AD＝1 ∴AB＝AE+BE＝5如圖，AB是O的直徑，MN是弦，AEMN于E，BFMN于F，AB＝10，MN＝8. 求BF－AE的值.解：∵AEMN，BFMN，則AE∥BF，∴A＝B如圖，延長EO交BF于點G，則AOE＝BOG，AO＝BO ∴△AOE≌△BOG（AAS），則OE＝OG 過點O作OHMN，F(xiàn)G＝2OH，HN＝4 連接ON，則ON＝5，OH＝，則BG－AE＝FG＝6.圓的培優(yōu)專題4——圓與勾股定理如圖，⊙O是△BCN的外接圓，弦ACBC，點N是的中點，BNC＝， 求 的值.解：如圖，連接AB，則AB為直徑，∴BNA＝90 連接AN，則BN＝AN，則△ABN是等腰直角三角形∴BN＝AB；又BAC＝BNC＝，∴BC＝AB， ∴＝ （方法2，過點B作BDCN，即可求解）如圖，⊙O的弦ACBD，且AC＝BD，若AD＝，求⊙O半徑.解：如圖，作直徑AE，連接DE，則ADE＝90 又ACBD，則ADB＋DAC＝ADB＋EDB＝90 ∴DAC＝EDB，則，∴， ∵ AC＝BD，∴，則 ∴AD＝DE，即△ADE是等腰直角三角形 ∴AE＝AD＝4，即⊙O的半徑為2如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為CB延長線上一點，且CAD＝， CEAB于點E，DFAB于點F. （1）求證：CE＝EF；（2）若DF＝2，EF＝4，求AC.（1）證：∵ AB為⊙O的直徑，CAD＝， 則△ACD是等腰直角三角形，即AC＝DC 又CEAB，則CAE＝ECB 如圖，過點C作CG垂直DF的延長線于點G 又CEAB，DFAB，則四邊形CEFG是矩形，AEC＝DGC＝90 ∴EF＝CG，CE∥DG，則ECB＝CDG＝CAE ∴△ACE≌△DCG（AAS），則CE＝CG＝EF（2）略解：AC＝CD＝.如圖，AB為⊙O的直徑，CDAB于點D，CD交AE于點F，. （1）求證：AF＝CF； （2）若⊙O的半徑為5，AE＝8，求EF的長（1）證：如圖，延長CD交⊙O于點G，連接AC ∵直徑ABCG，則 ∴CAE＝ACG，則AF＝CF（2）解：如圖，連接OC交AE于點H，則OCAE，EH＝AH＝AE=4 ∴ OH＝，則CH＝5－3＝2 設(shè)HF＝，則CF＝AF＝4－ 則，∴，即HF＝ ∴EF＝如圖，在⊙O中，直徑CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，連接AD. （1）求證：AD＝AN； （2）若AB＝，ON＝1，求⊙O的半徑.（1）證：∵CDAB，AMBC ∴C＋CNM＝C＋B＝90 ∴B＝CNM， 又B＝D，AND＝CNM ∴D＝AND，即AD＝AN（2） 解：∵直徑CD弦AB，則AE＝ 又AN＝AD，則NE＝ED 如圖，連接OA，設(shè)OE＝，則NE＝ED＝ ∴OA＝OD＝ ∴，則 ∴⊙O的半徑OA＝3圓的培優(yōu)專題5——圓中兩垂直弦的問題在⊙O中，弦ABCD于E，求證：AOD＋BOC＝.證：如圖，連接AC， ∵ABCD，則CAB＋ACD＝90 又AOD＝2ACD，BOC＝2BAC ∴AOD＋BOC＝.在⊙O中，弦ABCD于點E，若⊙O的半徑為R，求證：AC2＋BD2＝4R2.證：∵ABCD，則CAB＋ACD＝90 如圖，作直徑AM，連接CM 則ACM＝ACD＋DCM＝90∴CAB＝DCM，∴∴，∴CM＝BD ∵AC2＋CM2＝AM2 ∴AC2＋BD2＝4R2.在⊙O中，弦ABCD于點E，若點M為AC的中點，求證MEBD.證：如圖，連接ME，并延長交BD于點F ∵ABCD，且點M為AC的中點 ∴ME為Rt△AEC斜邊上的中線 ∴AM＝ME ∴A＝AEM＝BEF 又B＝C，A＋C＝90 ∴BEF＋B＝90，即BFE＝90 ∴MEBD.在⊙O中，弦ABCD于點E，若ONBD于N，求證：ON＝AC.證：如圖，作直徑BF，連接DF， 則DFBD，又ONBD， ∴ON∥FD，又OB＝OF ∴ON＝DF 連接AF，則AFAB，又CDAB ∴AF∥CD ∴，則AC＝FD ∴ON＝AC在⊙O中，弦ABCD于點E，若AC＝BD，ONBD于N，OMAC于M. （1）求證：MEON； （2）求證：四邊形OMEN為菱形.證：（1）如圖，延長ME交OD于點F ∵OMAC，則點M為AC的中點 ∵