【正文】 循環(huán)群 。 。 f ) 。 f = τ 如果 Sn中的置換構(gòu)成的 非空子集 G滿足下列三條性質(zhì)，則定義它為 置換群 。 g ? g 。213321。 顯見正整數(shù)連同其上的加法運算構(gòu)成一代數(shù)系統(tǒng) , 正整數(shù)在減法運算下不構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng) 。 例： {1,2,3}的 3!=6個置換如下： 。14234321 gf求： f 。 τ= τ 。 g) = f –1 。 不僅如此 , 某些部分置換 也可構(gòu)成群 , 例如在 S3中 , {p1, p2}, ◇ , {p1, p3}, ◇ , {p1, p4}, ◇ 和{p1, p5, p6}, ◇ 都是群 。考慮將 1到 n的整數(shù)均勻地放到正 n邊形的 n個角點上。 1 a 4 3 2 d c b 圍繞正方形中心旋轉(zhuǎn) 0176。 },{ 432134241404 ?????????cG134122143 , ????????? ??? nn ???},{ 131412134241404 ??????????? ??? nncG ?29 將前面的結(jié)論推廣到正 n邊形上去 ， 我們 能夠得到 n個旋轉(zhuǎn)： 和 n個翻轉(zhuǎn)： 如果 n為偶數(shù) ， 則有 n/2 個關(guān)于對角線和 n/2 個關(guān)于中位線的翻轉(zhuǎn)；如果 n為奇數(shù) ， 則有 n個中垂線的翻轉(zhuǎn) 。 由于 f是從 X到自身的雙射函數(shù) ， 故對 i∈ X，其入度和出度都是 1。 設(shè)有如下置換： f=(134)(26)。 )6)(5)(4)(132(654213654321??????????f?????????????????????????????????????????????????????321321213321132321213321213321213321)132(3???43 定義：如果置換 f 的 k次自身合成： f k = τ。 解 :第一次洗牌前可用置換 P0表示為 : 45 第一次洗牌后用置換 P1表示為： 。351246654321gf52 3) f 2, g 5 ； 4) f 。 51 本次授課到此結(jié)束 作業(yè)如下 : P375 1, 11 1. 設(shè) 求： 1) f 。 τ 。 對置換 : )5)(43)(21(5341254321?????????????????????????????????5432154321,5342154321,5431254321中的循環(huán) (1 2), (3 4)及 (5)， 可分別獨立解釋為 41 ??????????????????????????????????5341254321543215432153421543215431254321)5)(43)(21( ?? 即不在各循環(huán)中出現(xiàn)的元素自身對應(yīng)保持不變。 設(shè) : ?????????654213654321f取藍(lán)色框的元素觀察： 1→3→2→1 ；取鏈中不同 37 的元素可產(chǎn)生四個循環(huán) : (132), (4), (5), (6)。2154354321。12344321。從而無論 n是奇數(shù)還是 25 偶數(shù)，又可產(chǎn)生 n種不同的圖案， 對應(yīng)于 X的 n種 不同的置換。 圍繞直線 1C翻轉(zhuǎn)得 : {2,1,3}。312321。 每個置換群滿足消去律： f 。 f 。 f 是按順序合成： (g 。 有限群中 G的基數(shù) |G| 常稱為群的 階數(shù) 。 若有 (2)， (3)同時成立 ， 稱 (G， *)為 幺半群 、或者 獨異點 。21?????????????????nn aaanbbbngf??????212121217 f 。 f ,…… f k = f 。 X上 所有置換 構(gòu)成的群稱為 n次對稱群 。123321。 1 ? 2, 2 ? 3, 3 ? 1 1 3 2 2 3 1 19 )2 40(213321)1 20(132321)0(321321651??????????????????????????????旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)ppp 再將三角形圍繞直線 1A、 2B、 3C翻轉(zhuǎn)。 第二類是當(dāng) n為奇數(shù)時繞各邊的中垂線翻轉(zhuǎn)180176。21434321。2345154321。 ……… 35 圖的頂點