【正文】 8 用伴隨矩陣求逆矩陣 設(shè) A 是 n 階矩陣，稱(chēng)矩陣11 21 112 22 212nnn n nnA A AA A AA A A????????稱(chēng)為 A 的伴隨矩陣，記作 *A ，其中 ijA是 A 中元素 ija 的代數(shù)余子式，即11 21 112 22 2*12nnn n nnA A AA A AAA A A?????????. 定理 n 階矩陣 A 可逆的充要條件是 0A? ，且在 A 可逆時(shí)， 1*1AAA? ?. 這種求逆矩陣的方法稱(chēng)為伴隨矩陣法 .該法主要用于逆矩陣或伴隨矩陣的理論推導(dǎo)上，但對(duì)于階數(shù)較低（一般不超過(guò) 3）或元素的代數(shù)余子書(shū)式易于計(jì)算的矩陣可 用此法求其逆矩陣 .使用伴隨矩陣法求逆矩陣時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： )1( 準(zhǔn)確地算出 *A .注意 *A 的第 i 行元素依次是矩陣 A 的第 i 列元素的代數(shù)余子式 . )2( ijA 是 ija 的代數(shù)余子式，不是余子式，且 ijjiij MA ??? )1( ，因此計(jì)算時(shí)千萬(wàn)不要遺漏代數(shù)符號(hào) ji??)1( . 此定理不僅給出了方陣可逆的條件，同時(shí)也給出了求逆矩陣的公式 .[6] 例 3 判定矩陣???????????323222321A 是否可逆，若可逆，求 1?A . 解 因?yàn)?04???A ，所以 A 可逆，又 211?A ， 012?A ， 213 ??A ， 021?A ， 622 ??A ， 423?A ， 231 ??A ， 432?A ， 233 ??A 所以??????????????????????????????????????21121123021021242460202411 *1 AAA. 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 9 用初等變換求逆矩陣 初等行變換 由 n 階矩陣 A ，作一個(gè) nn2? 矩陣 ),( IA ，如果此矩陣可以經(jīng)過(guò)初等行變換化為? ?BI, ，那么矩陣 A 可逆，此時(shí) B 即可為 1?A .換句話說(shuō)，當(dāng) A 可逆時(shí)， ）（初等行變換 1,),( ???? ?? AIIA . 例 4 用初等行變換求逆矩陣???????????311210112A 的逆矩陣 . 解 ),( IA ???????????100311010210001112 ???????????001112010210100311 ?????????????? 202110102110031 ????????????? 211300010210100311 ??????????????? 323131100010210100311?????????????????????323131100343532021111011 ?????????????????????323131100343532021313231001，故 ??1A????????????????????323131343532313231. 初等列變換 類(lèi)似地，如果 n 階矩陣 A 可逆，則作一個(gè) nn?2 的矩陣 ??????IA，然后對(duì)此矩陣施以初等列變換，使矩陣 A 化為單位矩陣 I ，此時(shí) I 可化為 1?A ，即 ????????? ???????? ?1AIIA 初等列變換 .[7] 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 10 例 5 用初等列變換求矩陣???????????101111124A 的逆矩陣 . 解 ???????IA????????????????????100010001101111124?????????????????????001010100101111421???????????????????????????421010100321311001?????????????????????????221310100321011001?????????????????????????32211103100121011001 ??????????????????????????323231111313231100011001??????????????????????????323231110313231100010001????????????????????????323231110313231100010001，所以 ??1A?????????????22133012131 . 混合采用初等行、列變換 設(shè) A 可逆，則對(duì) A 施行一系列的行、列初等變換把 A 變成 I .即存在初等矩陣 1S ， 2S ，?， mS ， 1T ， 2T ， ?， nT ，使 ITTATSSS nm ??? 2112 ，則