【正文】 ? ? ? ? () 因為 **0 ( ) ( )nj j jj a a x? ? ??? ? ??, 0{ ( )}niix? ? 長沙學(xué)院 畢業(yè)論文 13 又由 ()得 *( , ) 0kf ????, 0,1, 2, , ,kn? 所以 * * * * * *00( , ) ( , ( ) ) ( ) ( , ) 0nnj j j j j jjjf f a a a a f? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???. 由 () 2 2 22 * * *2 2 2 2f f f? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? . 由此證明了式子 (),從而確定了 **0( ) ( )njjjx a x???? ?為最佳平方逼近函數(shù) . 通過歸納上述的推導(dǎo)演繹 ,得出了下面的定理 . 定理 [1] 給定子空間 01( ) { ( ) , ( ) , , ( ) }nx Spa n x x x? ? ??? ,其中 ? ?? ?0nj jx? ?為 [, ]ab 上的線性無關(guān)組 ,那么任一函數(shù) ( ) [ , ] ( )f x C a b x??在 中的最佳平方逼近函數(shù) ( ) ( )xx? ?? 存在且唯一 ,它可由求解正則方程組 . 0 ( , ) ( , )nj k j ki af? ? ?? ?? 0,1,2, ,kn? () 得到最佳系數(shù)向量 * * * * *0 1 2( , , , , ) Tna a a a a? ,從而有 ()fx的最佳平方逼近函數(shù) * * * * *0 0 1 10( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .nj j n njx a x a x a x a x? ? ? ? ??? ? ? ? ?? () 最佳平方逼近的誤差 雖然最佳平方逼近在 2范數(shù)意義下是最優(yōu)的，但是畢竟是近似的，所以必定存在逼近誤差 . **( ) ( ) ( ).R x f x x??? () 逼近誤差的重要性質(zhì)：它與基函數(shù)正交 .由 (), **( ( ) , ( ) ) ( , ) 0kkR x x f? ? ?? ? ?. 2* 2()Rx 一般用范數(shù)來度量 *() ,常用 2范數(shù)表示的均方誤差 它可由平方誤差 *2()Rx開方后得到 . 222* * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )baR x f x x W x f x x d x??? ? ? ?? * * * * *( , ) ( , ) ( , ) 2( , ) .f f f f f? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 注意到： 長沙學(xué)院 畢業(yè)論文 14 * * * * * * * * *0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0njjjf f f f a? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??, 故有 2 2* * *22 0( ) ( , ) ( , ) ( , )njjjR x f f f f f a?? ?? ? ? ? ? （ ） 另一方面， * * * * * * * * * *( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )f f R R R R R? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 而 * * * *( , ) ( , ) 0Rf? ? ?? ? ?,故有 222 **2fR??? （ ） ()稱為廣義勾股定理 ,若 ( ) ( )xx? ?? 是最佳平方逼近函數(shù) ,則它的平方誤差最小，所以它與 *,fR構(gòu)成一個直角三角形 .又由 ()和 ()知： 2* * *2 0( , ) ( , )njjjf f a? ? ???? ? () 長沙學(xué)院 畢業(yè)論文 15 第 3 章 正交多項式在最佳平方逼近中的應(yīng)用 基于正交多項式求解最佳平方逼近步驟 （ 1）求內(nèi)積 若 ( ) [ , ]f x C a b? ,取正交基 01{ ( ), ( ), , ( )}nx x x? ? ?及權(quán)函數(shù) () ? ? ? ?0,ij ii?? ????? ??? （ 2）解法方程組 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?0 0 0 01 1 1 1,n n n nafafaf? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? 則有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?* 2, , ( 0 , 1 , 2 , , ),bjj aj bjj jaW x f x x dxfa j nW x x dx???? ?? ? ??????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?*00,. . , ( 0 , 1 , 2 , , ),nn jj j jjj jjfx a x x j n?? ? ?????? ? ??? （ 3）平方誤差 ? ? ? ?* 0 . , ( 0 , 1 , 2 , , )njjjx a x j n?????? ? ?? ?* , , ( 0 , 1 , 2 , , ), jj jjfa j n????? ? ? ? ?22 2 2* * * 22 2 22 00, , .nnj j j j jjjR f f a f f a? ? ? ???? ? ? ? ? ??? 于是有 2 2* 22 .ff??? ij?ij?? ? ? ?*, , , ( 0 , 1 , 2 , , )j j j jf a j n? ? ??? 長沙學(xué)院 畢業(yè)論文 16 基于正交多項式求解最佳平方逼近的實例 正交多項式的必要性 逼近的目的在于用簡單函數(shù)來近似復(fù)雜函數(shù) ,而最簡單的函數(shù)就是多項式 ,它既便于計算 ,又便于積分 .因此 ,取 nH?? 作為我們的逼近子空間 . 例 求函數(shù) ()f x x? 在 [0,1]上的最佳平方逼 近多項式 01()x a a x? ??. 解 取 01( ) 1, ( )x x x????.由于權(quán)函數(shù) ( ) 1Wx? ,因此 101( , ) 1ijij x x d x ij?? ?? ??? ， , 0,1,ij? 11 202 ,3( , )2 ,5ii f x x dx??????????? 于是得法方程組 010112,231 1 2 .2 3 5aaaa? ?????? ???? 解法方程組得解0144,.15 5aa??則計算得出 ()f x x? 在 [0,1]上的一次最佳平方逼近多項式為 44( ) .15 5xx? ?? 假如取 ? ?? ?0nj jx? ?為冪函數(shù)系 ? ?0 , ( ) 1 , [ , ] [ 0 , 1 ]nj jx W x a b? ??,則 101( , ) 1i j i jx x x x d x ij?? ??? , 0, , , ,i j n? 10( , ) ( ) 0 , 1 , ,iix f x f x d x i n??? ， （ ） 法方程組 ()變?yōu)? 0,i?1,i? 長沙學(xué)院 畢業(yè)論文 17 101 0101 0101 011( ) ,211 1 1( ) ,2 3 21 1 1( ) .1 2 2 1nnnna a a f x dxna a a x f x dxna a a x f x dxn n n? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ??????? ? ? ? ?? ? ? ????? （ ） 方程組 ()的系數(shù)矩陣是 1n? 階 Hilbert 矩陣： 1111211 1 12 3 21 1 11 2 2 1nnH nn n n????????? ???? ? ??? （ ） 當(dāng) n 較大時 , 1nH? 是高度病態(tài)的 ,求解這種方程組 ,由于計算過程中舍入誤差的影響很大 ,得到的近似解的精確度很差 ,求解的過程也十分的困難 ,工作量十分的大 . 所以選擇合適的函數(shù)系是相當(dāng)重要的 ,而正交函數(shù)系正好能解決這一問題 ,因為它是對角方程組 ,極易求得這種方程組的解 .這時采用正交多項式為基底 ,就能保證解的穩(wěn)定性了 . 由例 可以看出正交多項式在最佳平方逼近中的重要性 ,可以使得計算過程更加簡便 ,計算結(jié)果更加精確 . 基于正交多項式求解最佳平方逼近函數(shù)實例 例 求 10xfe? 在 [1,1]上的三次最平佳方逼近多項式以及誤差 ,分別用Legendre 多項式組 ? ?? ?30i ix? ?和 Chebyshev 多項式組 ? ?? ?30i iTx?作為基函數(shù) . 解 1 在 [1,1]上 ,選取正交基為 Legendre 正交多項式組 ? ?? ?30i ix? ? 23111 , , ( 3 1 ) , ( 5 3 )22x x x x???????? 取權(quán)函數(shù) ( ) 1Wx? ,所以 2( , ) , ( 0 , 1 , 2 , 3 )21jj jj?? ??? 長沙學(xué)院 畢業(yè)論文 18 ? ?? ?? ?? ?101111212131311, 2, 3 1 7, 25 3 37, 5 2xxxxf e dx eef x e dxexf e dx eexxf e dx ee????????? ? ? ?? ? ??? ? ? ??? ? ? ????? 所以法方程為： 012322 3 .2527aaaa?????? ???? ?????? ????? ?????? ?????????? 解法方程組得： * *